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| Aufgabe | | Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y' = [mm] \bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}} [/mm] mit y(1) = 1 |
Hallo,
ich komme mit der Bearbeitung dieser Aufgabe leider nicht weiter und hoffe, dass ihr mir dabei behilflich seid.
Zunächst habe ich obige Gleichung etwas vereinfacht
[mm] F(\bruch{y}{x}) [/mm] = y' = [mm] \bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2y^{2}+4x^{2}}{(xy)}
[/mm]
nun in homogene Form gebracht:
= [mm] \bruch{2(\bruch{y}{x})^{2}+4}{\bruch{y}{x}}
[/mm]
Jetzt habe ich [mm] \bruch{y}{x} [/mm] durch u ersetzt:
F(u) = [mm] \bruch{2u^{2}+4}{u}
[/mm]
Nun die Trennung der Variablen. Dazu habe ich erstmal u' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{F(u)-u}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{2u^{2}+4}{u}-u}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{2u^{2}+4-u^{2}}{u}}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{u^{2}+4}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{du}{dx}
[/mm]
Damit ergibt sich
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{u}{u^{2}+4} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Dies habe ich gelöst und komme auf folgendes Ergebnis:
ln(|x|) + C = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4) [/mm] + C
Erstmal die Frage: Ist das so in etwa richtig oder grober Unfug ?
Ab dieser Stelle weiß ich nicht, wie es weiter geht. Irgendwie muss ich den gegebenen Anfangswert ja noch einbringen. Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
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Hallo MartinS,
> Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y' =
> [mm]\bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}}[/mm] mit y(1) = 1
> Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{u}{u^{2}+4} du}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> Dies habe ich gelöst und komme auf folgendes Ergebnis:
>
> ln(|x|) + C = [mm]\bruch{1}{2}ln(u^{2}+4)[/mm] + C
>
> Erstmal die Frage: Ist das so in etwa richtig oder grober
> Unfug ?
Es ist üblich die Konstante C auf die Seite, auf der die x-Terme stehen, zu schreiben:
[mm] ln(|x|) + C = \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4)[/mm]
>
> Ab dieser Stelle weiß ich nicht, wie es weiter geht.
> Irgendwie muss ich den gegebenen Anfangswert ja noch
> einbringen. Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
>
Jetzt musst Du erstmal nach [mm]u=u\left(x\right)[/mm] auflösen.
Dann bekommst Du die Lösung der ursprünglichen DGL heraus:
[mm]y\left(x\right)=x*u\left(x\right)[/mm]
In diese werden, zur Ermittlung der Konstanten, die Anfangsbedingungen eingesetzt:
[mm]y\left(1\right)=1*u\left(1\right)=u\left(1\right)[/mm]
Auflösen nach der Konstanten und damit hast Du eine spezielle Lösung dieser DGL gefunden.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Sa 16.02.2008 | | Autor: | MartinS83 |
Ich danke dir, für deine schnelle Antwort.
Gruß,
Martin
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