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AnfangsRandwertprob. Diffusion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Di 01.12.2015
Autor: Teryosas

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung:

[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = [mm] 3*\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
u(0,t) = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0 für t [mm] \ge [/mm] 0
u(x,0)=4sin(x)-sin(3x) für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm]

Hey,
würde gerne wissen ob mein Lösungsweg richtig ist?

Die Lösung ohne Beachtung der Anfangsbedingung:
u(x,t) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_{n}*sin(nx)e^{-3n^2t} [/mm]

für [mm] b_{n} [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 1 und t=0
u(x,0) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}*sin(nx) [/mm] = 4sin(x)-sin(3x)

durch Koeffizientenvergleich bekomme ich [mm] b_{1}=4, b_{2}=-1 [/mm] und [mm] b_{n}=0 [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 3

Somit ist die Lösung:
u(x,t) = [mm] 4sin(x)*e^{-3t}-sin(3x)*e^{-12t} [/mm]

stimmt das so?

LG :)

        
Bezug
AnfangsRandwertprob. Diffusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Di 01.12.2015
Autor: leduart

Hallo
[mm] b_2=0 b_3=-1 [/mm] ergibt der richtige Koeffizientenvergleich.
dass deine Lösung falsch ist hättest du leicht durch einsetzen in die Dgl feststellen können.. die Probe sollte man IMMER machen.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
AnfangsRandwertprob. Diffusion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Do 03.12.2015
Autor: Teryosas


> Hallo
>  [mm]b_2=0 b_3=-1[/mm] ergibt der richtige Koeffizientenvergleich.
>  dass deine Lösung falsch ist hättest du leicht durch
> einsetzen in die Dgl feststellen können.. die Probe sollte
> man IMMER machen.
>  Gruß leduart

Wie kommst du denn auf diese Koeffizienten?
Habe eine ähnliche Aufgabe aus letztem Jahr mit u(x,0)=2sin(x)-sin(2x) und da sind laut Musterlösung: [mm] b_{1}=2, b_{2}=-1 [/mm] und [mm] b_{n}=0. [/mm]


Bezug
                        
Bezug
AnfangsRandwertprob. Diffusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:29 Sa 05.12.2015
Autor: leduart

Hallo
da stand sin (2x) bei dir sin(3x)!
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
AnfangsRandwertprob. Diffusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Do 03.12.2015
Autor: fred97


> Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> Wärmeleitungsgleichung:
>  
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)[/mm] =
> [mm]3*\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm]
> , t [mm]\ge[/mm] 0
>  u(0,t) = [mm]u(\pi,t)[/mm] = 0 für t [mm]\ge[/mm] 0
>  u(x,0)=4sin(x)-sin(3x) für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm]
>  Hey,
> würde gerne wissen ob mein Lösungsweg richtig ist?
>  
> Die Lösung ohne Beachtung der Anfangsbedingung:
>  u(x,t) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_{n}*sin(nx)e^{-3n^2t}[/mm]
>  
> für [mm]b_{n}[/mm] mit [mm]n\ge[/mm] 1 und t=0
>  u(x,0) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}*sin(nx)[/mm] =
> 4sin(x)-sin(3x)
>  
> durch Koeffizientenvergleich bekomme ich [mm]b_{1}=4, b_{2}=-1[/mm]
> und [mm]b_{n}=0[/mm]  für n [mm]\ge[/mm] 3

Da hast Du Dich vertan ! Es ist [mm] b_1=4, b_2=0, b_3=-1 [/mm] und [mm]b_{n}=0[/mm]  für n [mm]\ge[/mm] 4.


>  
> Somit ist die Lösung:
> u(x,t) = [mm]4sin(x)*e^{-3t}-sin(3x)*e^{-12t}[/mm]

Jetzt stimmts wieder !

FRED


>  
> stimmt das so?
>  
> LG :)


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