Analyti. Geometrie mit Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
ich habe ein Problem in der Thematik "Analytische Geometrie mit Ebenen" und zwar bei der Aufgabe zu zeigen das bestimmte Punkte in den bestimmten Ebenen liegen. Man hat zwei Ebenengleichungen gegeben und soll anhand zwei weiteren gegebenen Punkten zeigen das sie in den Ebenen liegen, bloß da fängts an, wie geht man vor ?
Aufgabe: Zeige: Die Punkte P1 (3|5|0) und P2 (0|3|2) liegen sowohl in der Ebene E1 als auch in E2.
E1: x= 2|1|1 + [mm] \lambda [/mm] * -1|1|-4 + µ * 2|-2|-1 ;
E2: x= -1|3|2 + [mm] \lambda [/mm] * -1|0|0 + µ * -4|3|-3
Zum Verständnis: Habe die Komponenten einfach mal nebeneinander geschrieben.
Was folgt hieraus über die Lage von E1 und E2 ? Können die Ebenen auch gleich sein?
Vielen dank,
Beginner
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Hallo!
> Aufgabe: Zeige: Die Punkte P1 (3|5|0) und P2 (0|3|2) liegen
> sowohl in der Ebene E1 als auch in E2.
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> E1: x= 2|1|1 + [mm]\lambda[/mm] * -1|1|-4 + µ * 2|-2|-1 ;
> E2: x= -1|3|2 + [mm]\lambda[/mm] * -1|0|0 + µ * -4|3|-3
>
> Zum Verständnis: Habe die Komponenten einfach mal
> nebeneinander geschrieben.
Naja, eigentlich ist das ganz einfach. Du schreibst statt dem x einfach deinen Punkt dahin, und dann suchst du dir ein [mm] \lambda [/mm] und ein [mm] \mu, [/mm] sodass die Gleichung erfüllt ist. Das ist dann ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Und dann machst du das für den zweiten Punkt auch noch so. Und bei der zweiten Ebene natürlich auch noch einmal.
> Was folgt hieraus über die Lage von E1 und E2 ? Können die
> Ebenen auch gleich sein?
Na, wenn beide Punkte in beiden Ebenen liegen, dann müssen sich die Ebenen ja wohl schneiden. Und wenn sie sich schneiden, dann schneiden sie sich in einer Geraden (wie sollen sich zwei Ebenen im [mm] \IR^3 [/mm] auch sonst schneiden?). Da die beiden Punkte in beiden Ebenen liegen, kann man durch diese beiden Punkte die Gleichung der Schnittgeraden angeben.
Natürlich können die Ebenen theoretisch auch gleich sein - dafür müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein - also einer aus der einen Gleichung und zwei aus der anderen sind linear abhängig, oder umgekehrt (denn vier Vektoren sind im [mm] \IR^3 [/mm] immer linear abhängig - da würde diese Begründung sonst keinen Sinn machen.)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Da du wahrscheinlich noch nicht gelernt hast, wie man diese Ebenengleichungen in die Normalenform bringt gints auch die möglichkeit zu Fuß.
1.
Überprüfe, ob die Punkte P1 und P1 in der Ebene 1 und 2 liegen
Nun könnte es durchaus sein, dass die Ebenen Deckungsgleich sind.
dazu
2. Nimmst du dir den aufsprungpunkt der einen Ebene, un schaust ob er auf der Geraden liegt, die P1 und P2 aufspannen. tut er das nicht, schaust ob der Punkt auf der anderen Ebene liegt.
tut er das hast du 3 Punkte im Raum, die eine Dreieck bilden und auf beiden Ebenen liegen. Dann sind folglich beide Ebenen identisch.
liegt der Onkt nicht auf der anderen Ebene schneiden sich die Ebenen in einer Geraden
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