Analyt. Geometrie mit Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 05.06.2007 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | Koordinatengleichung und Parameterdarstellung
Gegeben sind die Ebenen E1 (durch eine koordinatengleichung) und E2 (durch eine Parameterdarstellung). DIe PArameterdarstellung für E2 enthält Gleichungen für x1,x2 und x3, die man in die Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet das geometrisch?
Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinandner sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?
a) E1 : x1 - 2x2 + x3 = 2
E2 : [mm] \vec{x} [/mm] = (1/-1/3) + [mm] \lamda [/mm] (1/-1/-1) + [mm] \mu [/mm] (-1/2/-1) |
ich habe probleme bei Lösung dieser Aufgabe.
Mein Ansatz lautet :
Einsetzen von E2 in E1 um die Schnittgerade herauszufinden:
(1/-2/1) * [(1/-1/3) + [mm] \lamda [/mm] (1/-1/-1) + [mm] \mu [/mm] (1/-1/1)] = 2
<--> (1+2+3) + [mm] \lamda [/mm] (1+2-1) + [mm] \mu [/mm] (1+2+1) = 2
<--> 6 + [mm] 2\lamda [/mm] + [mm] 4\mu [/mm] = 2
....
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Rambo,
> Koordinatengleichung und Parameterdarstellung
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> Gegeben sind die Ebenen E1 (durch eine
> koordinatengleichung) und E2 (durch eine
> Parameterdarstellung). DIe PArameterdarstellung für E2
> enthält Gleichungen für x1,x2 und x3, die man in die
> Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet
> das geometrisch?
> Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinandner
> sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?
>
> a) E1 : x1 - 2x2 + x3 = 2
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> E2 : [mm]\vec{x}[/mm] = (1/-1/3) + [mm] \lambda[/mm] (1/-1/-1) + [mm]\mu[/mm] (-1/2/-1)
> ich habe probleme bei Lösung dieser Aufgabe.
>
> Mein Ansatz lautet :
>
> Einsetzen von E2 in E1 um die Schnittgerade
> herauszufinden:
>
> (1/-2/1) * [(1/-1/3) + [mm]\lambda[/mm] (1/-1/-1) + [mm]\mu[/mm] (1/-1/1)] =
> 2
>
> <--> (1+2+3) + [mm]\lambda[/mm] (1+2-1) + [mm]\mu[/mm] (1+2+1) = 2
> <--> 6 + [mm]2\lambda[/mm] + [mm]4\mu[/mm] = 2
> ....
Da stimmt was nicht. Du kannst zwar durchaus mit der N ormalengleichung arbeiten. Aber dann ist die Gleichung:
$ [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1} \cdot (\vektor{1 \\ -1 \\ 3 } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] ) $
>
Oder
Du setzt
$ [mm] x_1 [/mm] = 1 + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] $ ,
$ [mm] x_2 [/mm] = -1 - [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] $ und
$ [mm] x_3 [/mm] = 3 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] $
direkt in die Koordinatengleichung ein.
Wenn du das Ergebnis hast, versuche dieses zu interpretieren. Bei Schwierigkeiten melde dich.
Gruß
Sigrid
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>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 05.06.2007 | | Autor: | Rambo |
habe das jetzt nicht ganz verstanden??wie muss ich denn dann genau vorgehen?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 05.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Rambo,
> Koordinatengleichung und Parameterdarstellung
>
> Gegeben sind die Ebenen E1 (durch eine
> koordinatengleichung) und E2 (durch eine
> Parameterdarstellung). DIe PArameterdarstellung für E2
> enthält Gleichungen für x1,x2 und x3, die man in die
> Koordinatengleichung von E1 einsetzen kann. Was bedeutet
> das geometrisch?
> Wie erkennt man, ob die beiden Ebenen parallel zueinandner
> sind, sich in einer Geraden schneiden oder identisch sind?
>
> a) E1 : x1 - 2x2 + x3 = 2
>
> E2 : $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = (1/-1/3) + $ [mm] \lambda [/mm] $ (1/-1/-1) + $ [mm] \mu [/mm] $ (-1/2/-1)
> ich habe probleme bei Lösung dieser Aufgabe.
>
Ich nehme das 2. Verfahren:
Die Ebenengleichung von [mm] E_2 [/mm] ist:
$ E2 : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
Das heißt: Die erste Koordinate eines Punktes der Ebene [mm] E_2 [/mm] ist:
$ [mm] x_1 [/mm] = 1 + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] $ ,
Die zweite:
$ [mm] x_2 [/mm] = -1 - [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] $ und die dritte
$ [mm] x_3 [/mm] = 3 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] $
Diese setzt du nun in die Koordinatengleichung von [mm] E_1 [/mm] ein:
(1 + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu) [/mm] - 2 (-1 - [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu) [/mm] + (3 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu) [/mm] = 2
$ [mm] \gdw \lambda [/mm] = 3 [mm] \mu [/mm] - 2 $ Bitte nachrechnen!
Diesen Wert kannst du jetzt in die Gleichug von [mm] E_2 [/mm] einsetzen:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] + (3 [mm] \mu [/mm] - 2) [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
$ [mm] \gdw \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] - 2 [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] + 3 [mm] \mu \vektor{1 \\ -1 \\ -1}+ \mu \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
$ [mm] \gdw \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 5} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ -1 \\ -4} [/mm] $ Bitte nachrechnen.
Dies ist die Gleichung der Schnittgeraden.
Gruß
Sigrid
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:24 Do 06.05.2010 | | Autor: | johnhatnendoe |
Ich danke dir sehr für die detaillierte Beschreibung, Sigrid , genau diese Aufgabe hat mich sehr beschäftigt: Unser Mathelehrer hatte uns die Lösungen zum Lernen vorgegeben und dabei kam raus, das -1=2 ist, woraus resultiert, dass beide Ebenen parallel wären; Da ich aber dieses Ergebnis hatte, wollte ich nochmal meine Rechnung auf Fehler überprüfen und - siehe da - ich lande hier!
Dankeschön für die Absicherung der Rechnung, das war für mich sehr hilfreich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 05.06.2007 | | Autor: | Rambo |
kann mir denn niemand die einzelnen schritte sagen,wäre echt sehr wichtig! ich danke euch!!!
MfG
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