Analysis (Bernoulli) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 07.11.2004 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo ihr lieben Mathematiker!
Ich bin schon die ganze zeit am suchen, aber ich habs noch ncith gefunden. und zwar haben wir im unterricht ( profilkurs mathe) letztens die bernoullische gleichung gemacht. haben dazu den schluss der vollständigen induktion gemacht. aber wir hatten noch keine weiteren einschränkungen für x und n vorgenommen. so, nun haben wir dann nochmal den test mit einigen zahlen durchgeführt, und festgestellt, dass es für x=-4 gar ncith stimmt. und da sollen wir nun deinen fehler in unserem schluss suchen.
inzwischen ahbe ich jetzt ja schon überall auf allen möglichen matehseiten entdekct, dass man die einschränkung x >= -1 machen muss. aber wie komtm man darauf? wie kann man im allgemeinen beweisen, dass x >= -1 sein muss?
das verstehe ich nicht!
wir haben :
[mm] (1+x)^n [/mm] >= 1+x*n
nun für n+1:
(1+x) ^n +1 = [mm] (1+x)^n [/mm] * (1+x)
>= (1+x*n) * (1+x) <---an dieser Stelle muss man doch jetzt sagen x>=-1, oder? aber warum genau?
= 1+x+x*n+x²n
= 1+(1+n)x +x²n
> = 1+ x(n+1)
bitte helft mir dabei man muss doch irgendwie begründen können, warum man diese voraussetzung braucht!
Vielen Danke!
fuechsin ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 So 07.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo fuechsinn,
> Hallo ihr lieben Mathematiker!
>
> Ich bin schon die ganze zeit am suchen, aber ich habs noch
> ncith gefunden. und zwar haben wir im unterricht (
> profilkurs mathe) letztens die bernoullische gleichung
> gemacht. haben dazu den schluss der vollständigen induktion
> gemacht. aber wir hatten noch keine weiteren
> einschränkungen für x und n vorgenommen. so, nun haben wir
> dann nochmal den test mit einigen zahlen durchgeführt, und
> festgestellt, dass es für x=-4 gar ncith stimmt. und da
> sollen wir nun deinen fehler in unserem schluss suchen.
> inzwischen ahbe ich jetzt ja schon überall auf allen
> möglichen matehseiten entdekct, dass man die einschränkung
> x >= -1 machen muss. aber wie komtm man darauf? wie kann
> man im allgemeinen beweisen, dass x >= -1 sein muss?
> das verstehe ich nicht!
>
> wir haben :
> [mm](1+x)^n[/mm] >= 1+x*n
>
> nun für n+1:
>
> (1+x) ^n +1 = [mm](1+x)^n[/mm] * (1+x)
> >= (1+x*n) * (1+x) <---an dieser Stelle muss man doch
> jetzt sagen x>=-1, oder? aber warum genau?
Ab hier schneide ich einfach mal ab, denn mehr brauchen wir nicht.
Nochmal schön mit dem Formeleditor geschrieben:
[mm] $(1+x)^{n+1}=(1+x)^n*(1+x)$.
[/mm]
Du hast die Stelle richtig erkannt. Nach Induktionsvoraussetzung ist
[mm] $(\star)$ $(1+x)^n \ge [/mm] (1+x*n)$.
Was passiert, wenn nun $x<-1$ wäre? Ginge der Induktionsbeweis dann genauso?
Die Antwort: Nein!
Denn:
Wäre nun $x<-1$, so wäre natürlich $-1-x>0$. Würde man nun in [mm] $(\star)$ [/mm] auf beiden Seiten mit $-1-x$ (was ja dann $>0$ wäre) multiplizieren, so würde aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgen:
[mm] $(\star)$ $(1+x)^n \ge [/mm] (1+x*n)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $(1+x)^n*(-1-x) \ge [/mm] (1+x*n)*(-1-x)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-(1+x)^n(1+x)\ge [/mm] -(1+x*n)(1+x)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(1+x)^n(1+x)\blue{\le} [/mm] (1+x*n)(1+x)$.
Wenn du nun nochmal in den Beweis (zur  Bernoullischen Ungleichung!) reinguckst, wie es weitergeht, dann erkennst du an dieser Stelle, dass man für das [mm] $\blue{\le}$ [/mm] aber ein [mm] $\ge$ [/mm] benötigt, um weiter abschätzen zu können. An dieser Stelle ging der Induktionsbeweis also schief, wenn $x<-1$ wäre.
Liebe Grüße,
Marcel
|
|
|
|
