Analogie lineare RWA und LGS < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mo 20.10.2014 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | | Die eigentliche Bedeutung des Existenzsatzes für lineare RWAn liegt darin, dass er eine starke Analogie zwischen linearen RWAn und linearen Gleichungssystemen aufzeigt. Bei beiden Problemtypen genügt es zum Nachweis der Existenz von Lösungen zu zeigen, dass eventuell existierende Lösungen notwendig eindeutig sind. |
Existenzsatz für lineare RWAn:
Die lineare RWA mit der gegebenen Randbedingung
u'(t)-A(t)u(t)=f(t)
[mm] B_{a}u(a) [/mm] + [mm] B_{a}u(b) [/mm] = g
besitzt dann für beliebige Daten f(t) und g eine eindeutige Lösung u(t), wenn die Matrix [mm] B_{a} [/mm] + [mm] B_{b} [/mm] Y(b) regulär ist. (Y(b) ist die Fundamentalmatrix)
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Wird jemand daraus schlau? Ich kann den Bogen noch nicht ganz von LGS zu der Lösbarkeit von RWAn spannen.
Über Hilfe wäre ich dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wenn man den Satz etwas umformuliert, lautet er:
FF Aussagen sind äquivalent:
i. Die RWA [mm] $\begin{cases} u'-Au=f
\\ B_{a}u(a) + B_{b}u(b) = g\end{cases}$ [/mm]
besitzt für jedes $ g [mm] \in \IR^n$, $f\in [/mm] C([a,b], [mm] \IR^n)$ [/mm] genau eine Lösung.
ii. Das lineare Gleichungssystem $(B_aY(a)+B_bY(b))x=y$ besitzt für jedes $y [mm] \in \IR^n$ [/mm] genau eine Lösung.
Ich denke daraus sollte der Zusammenhang Lösbarkeit RWA <-->Lösbarkeit LGS hervorgehen.
Dass man tatsächlich nur die Eindeutigkeit für die Existenz zeigen muss liegt daran, dass [mm] $\IR^n\ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] (B_aY(a)+B_bY(b))x$ ein Endomorphismus ist.
Liebe Grüße
P.S.: Es wäre nett, wenn du dazugeschrieben hättest, was f, A etc. sein sollen. Zwar kann man sich das denken, dennoch wird die Lesbarkeit dadurch vermindert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 20.10.2014 | | Autor: | sinalco |
Kann zu deinen Aussagen nicht viel sagen. Wahrscheinlich waren meine Angaben etwas unklar.
![[]](/images/popup.gif) Skript Numerik 1
Schau mal hier S. 195 - 197 - insbesondere S. 197 steht die Aussage.
Das Vorgehen bei Linearen Gleichungssystemen zu zeigen, dass eventuell existierende Lösungen notwendig eindeutig sind, kenne ich nicht wirklich. Wo macht man das denn. Also im Fall der RWA ist mir das in gewisser Weise klar.
Vorgehen eine eindeutige Lösung für eine lineare inhomogene RWA zu zu finden, wie ich es verstanden habe:
$ 1.) u'-Au=f $
$ 2.) [mm] B_{a}u(a) [/mm] + [mm] B_{b}u(b) [/mm] = g $
- Ordne der inhomogenen linearen RWA (wie du sie geschrieben hast) ein System aus d+1 AWAn zu
- Löse diese d+1 AWAn und erhalte dadurch eine Basis des Lösungsraums für, so dass $ u(t) = [mm] y_0(t) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{d}y_i(s) s_i [/mm] = [mm] y_0(t) [/mm] + Y(t)s $
- passe nun s so an, dass die Randbedingung aus 2.) gelöst wird.
Dies ist der Fall wenn [mm] $B_a [/mm] + [mm] B_b [/mm] Y(b)$ regulär ist. D.h. als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung betrachtet ist diese injektiv.
Damit folgt ja die Eindeutigkeit der Lösung.
Frage ist jetzt wie passt das überein mit dem Lösen von LGS?
Momentan verstehe ich das so, dass ich da genauso zeige, dass meine Matrix A im LGS $Ax = b$ regulär ist. Frage ist nur, wo sind da meine eventuell existierenden Lösungen?
Hoffe mein Problem ist jetzt klarer!
Grüße und Danke für die Antwort ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Di 21.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Kann zu deinen Aussagen nicht viel sagen. Wahrscheinlich
> waren meine Angaben etwas unklar.
>
> > " title="Link zu http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num1/Numerik_1.pdf
> (neues Fenster)"
target="_blank">Skript Numerik 1
Der Link funktioniert bei mir nicht !
>
> Schau mal hier S. 195 - 197 - insbesondere S. 197 steht die
> Aussage.
>
> Das Vorgehen bei Linearen Gleichungssystemen zu zeigen,
> dass eventuell existierende Lösungen notwendig eindeutig
> sind, kenne ich nicht wirklich. Wo macht man das denn. Also
> im Fall der RWA ist mir das in gewisser Weise klar.
>
> Vorgehen eine eindeutige Lösung für eine lineare
> inhomogene RWA zu zu finden, wie ich es verstanden habe:
>
> [mm]1.) u'-Au=f[/mm]
> [mm]2.) B_{a}u(a) + B_{b}u(b) = g[/mm]
>
> - Ordne der inhomogenen linearen RWA (wie du sie
> geschrieben hast) ein System aus d+1 AWAn zu
> - Löse diese d+1 AWAn und erhalte dadurch eine Basis des
> Lösungsraums für, so dass [mm]u(t) = y_0(t) + \summe_{i=1}^{d}y_i(s) s_i = y_0(t) + Y(t)s[/mm]
>
> - passe nun s so an, dass die Randbedingung aus 2.) gelöst
> wird.
>
> Dies ist der Fall wenn [mm]B_a + B_b Y(b)[/mm] regulär ist. D.h.
> als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung betrachtet
> ist diese injektiv.
> Damit folgt ja die Eindeutigkeit der Lösung.
>
> Frage ist jetzt wie passt das überein mit dem Lösen von
> LGS?
> Momentan verstehe ich das so, dass ich da genauso zeige,
> dass meine Matrix A im LGS [mm]Ax = b[/mm] regulär ist. Frage ist
> nur, wo sind da meine eventuell existierenden Lösungen?
>
> Hoffe mein Problem ist jetzt klarer!
>
> Grüße und Danke für die Antwort ;)
>
>
Sei I:=[a,b], A:I [mm] \to \IR^{n \times n} [/mm] stetig und der Operator L sei definiert durch
$Lu:=u'-Au$.
Weiter seien [mm] B_a,B_b \in \IR^{n \times n} [/mm] konstante Matrizen und der Randoperator R sei definiert durch
[mm] $Ru:=B_{a}u(a) [/mm] + [mm] B_{b}u(b) [/mm] $.
Darüberhinaus sei Y ein Fundamentalsystem der homogenen linearen DGL
$Lu=0$.
SATZ: Die folgenden 3 Aussagen sind äquivalent:
(a) Die homogene Randwertaufgabe
$Lu=0$
$Ru=0$
hat nur die triviale Lösung.
(b) Die Matrix $B_aY(a)+B_bY(b)$ ist regulär.
(c) Für jedes stetige f:I [mm] \to \IR^n [/mm] und jedes g [mm] \in \IR^n, [/mm] hat das Randwertproblem
$Lu=f$
$Ru=g$
genau eine Lösung.
Beachte: (b) ist äquivalent zu
(b') Für jedes y [mm] \in \IR^n, [/mm] hat das LGS
$ (B_aY(a)+B_bY(b))x=y$
genau eine Lösung x.
Ist es jetzt klarer ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Di 21.10.2014 | | Autor: | sinalco |
Ja, vielen Dank! So passt das! ;)
Die Operatorschreibweise war mir nicht bekannt - mit der wird das deutlich!
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