AnaII - Kompaktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Do 07.10.2004 | | Autor: | brisko |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
hat jemand ein Beispiel für eine abgeschlossene aber NICHT beschränkte Menge???
Mir fallen nämlich nur Beispiele für offene, unbeschränkte Mengen ein...
Wird nicht jede abgeschlossene Menge durch ihren Rand beschränkt?
Außerdem wäre doch eine unbeschränkte Menge Umgebung jeder ihrer Punkte (was doch genau die Definition von einer offenen Menge ist!)
Es muss aber ein Beispiel geben, weil die Kompaktheit ja Abgeschlossenheit UND Beschränktheit fordert (sonst würde ja auch eine Eigenschaft genügen!)
Da ich hier in meinen Unterlagen keine Antwort darauf finde, wäre ich für eine Hilfe sehr dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo brisko!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
> hat jemand ein Beispiel für eine abgeschlossene aber NICHT
> beschränkte Menge???
> Mir fallen nämlich nur Beispiele für offene, unbeschränkte
> Mengen ein...
> Wird nicht jede abgeschlossene Menge durch ihren Rand
> beschränkt?
> Außerdem wäre doch eine unbeschränkte Menge Umgebung jeder
> ihrer Punkte (was doch genau die Definition von einer
> offenen Menge ist!)
> Es muss aber ein Beispiel geben, weil die Kompaktheit ja
> Abgeschlossenheit UND Beschränktheit fordert (sonst würde
> ja auch eine Eigenschaft genügen!)
> Da ich hier in meinen Unterlagen keine Antwort darauf
> finde, wäre ich für eine Hilfe sehr dankbar!!!
>
Es gibt im [mm] $\IR$ [/mm] nur eine Menge, die sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist, meines wissens, nämlich der gesamte [mm] $\IR$. [/mm] Der ist nämlich abgeschlossen (Komplement leere Menge ist offen) und gleichzeitig findest du kein M mit [mm]0 < M< \infty[/mm] mit [mm]\exists_{a\in \IR} \exists _{b\in \IR} : |a-b| < M[/mm].
Irgendwo hab ich auch mal nen Beweis dafür gehabt, dass die leere Menge und [mm] $\IR$ [/mm] die einzigen Mengen in [mm] $\IR$ [/mm] sind, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Vielleicht mag den noch jemand anderes nachreichen.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Irgendwo hab ich auch mal nen Beweis dafür gehabt, dass die
> leere Menge und [mm]\IR[/mm] die einzigen Mengen in [mm]\IR[/mm] sind, die
> sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Vielleicht mag
> den noch jemand anderes nachreichen.
Hab' mir folgendes überlegt:
Sei M eine nicht-leere, echte Teilmenge des R, die abgeschlossen und offen ist. Dann ist R \ M nicht-leer und p sei ein Element von R \ M und
a:= [mm] \underbrace{inf}_{x \in M \wedge x > p}x
[/mm]
Offensichtlich ist p < a, denn wenn p = a gälte, so wäre p ein Häufungspunkt von M, der nicht in M liegt und damit wäre M nicht abgeschlossen. Ferner sind alle reellen Zahlen x mit p < x < a Elemente von [mm] R\M.
[/mm]
1. Fall: a [mm] \in [/mm] M
Dann ist M nicht offen, weil jede [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung um a Elemente aus R \ M enthält (die zwischen p und a) und a damit kein innerer Punkt von M wäre.
2. Fall: a [mm] \not\in [/mm] M
Dann wäre M nicht abgeschlossen, weil a ein Häufungspunkt von M ist, der nicht in M liegt.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Clemens!
Dein Beweis ist richtig und bildet ein Spezialfall des Beweises des Satzes, dass wegzusammenhängende topologische Räume zusammenhängend sind (in zusammenhängenden Räumen gibt es keine nichttrivialen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind).
Normalerweise operiert man in dem Beweis dann mit Wegen und bildet das Infimum über die Parametermenge, aber in [mm] $\IR$ [/mm] sind die Wege natürlich einfach die Teilintervalle, die du angegeben hast.
Sehr schön! 
Liebe Grüße
Stefan
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Der ganze [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] betrachtet ist eine Möglichkeit.
Du kannst in [mm] \IR [/mm] aber auch die Menge der natürlichen Zahlen nehmen, die Menge der ganzen Zahlen oder auch z.B.
[mm]\bigcup_{i=0}^{\infty}[2i;2i+1][/mm],
denn unendliche Vereinigungen von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen
Das ist Schwachsinn. Unendliche Vereinigungen können offen sein, nur endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Mengen sind selbst wieder abgeschlossen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Danke an marc für das beharrliche Nachbohren.
Ach ja, mein Beispiel ist trotzdem eine abgeschlossene Menge (Schwein gehabt).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Fr 08.10.2004 | | Autor: | brisko |
Vorab erstmal ein großes Dankeschön für die Antworten!!!
(Hatte bei der Uhrzeit überhaupt nicht mehr damit gerechnet!)
Mir ist jetzt nur noch nicht klar, ob [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] in [mm] \IR [/mm] "nur" abgeschlossen, oder ob sie (wie [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR) [/mm] sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann sind sie abgeschlossen, weil ihr Komplement offen ist. Aber auf der anderen Seite sind sie doch auch Umgebung aller ihrer Punkte - oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal brisko!
> Vorab erstmal ein großes Dankeschön für die Antworten!!!
> (Hatte bei der Uhrzeit überhaupt nicht mehr damit
> gerechnet!)
>
> Mir ist jetzt nur noch nicht klar, ob [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IZ[/mm] in [mm]\IR[/mm]
> "nur" abgeschlossen, oder ob sie (wie [mm]\IR[/mm] in [mm]\IR)[/mm] sowohl
> abgeschlossen als auch offen sind.
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann sind sie
> abgeschlossen, weil ihr Komplement offen ist. Aber auf der
> anderen Seite sind sie doch auch Umgebung aller ihrer
> Punkte - oder???
Dass sie abgeschlossen sind ist, ist klar, denn ihr Komplement [mm]\IR \setminus \IN[/mm] bzw. [mm] $\IR \setminus \IZ$ [/mm] ist offen. Ich denke, das hast du verstanden.
Auf der anderen Seite sind beide Mengen aber nicht offen bzgl. [mm] $\IR$, [/mm] weil es keine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] gibt, die ganz in [mm] $\IN$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ$ [/mm] liegt, weil mindestens ein Punkt aus dem Komplement ist. (Eigentlich die gesamte [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] ausser dem Punkt  )
Damit hast du gezeigt, dass [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] abgeschlossen und nicht offen sind.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:42 Fr 08.10.2004 | | Autor: | brisko |
...alles klar - jetzt hab ich's endgültig verstanden ;)
Danke nochmal...
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http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf