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Forum "Lineare Abbildungen" - Allgemeines zum Vektorbegriff

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Allgemeines zum Vektorbegriff: Vektoren, Skalare

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:46 Di 09.11.2010
Autor:	Masseltof

Aufgabe

 Keine explizite Frage. 

Hallo.

Ich betrachte derzeitig Vektoren genauer und möchte gerne wissen, ob ich folgendes richtig verstanden habe.

Vektoren sind definiert durch Richtung, Betrag und Orientierung.
Ein Vektor besteht aus Vektorkomponenten, welche wiederum aus Einheitsvektoren und Vektorkoordinaten bestehen.

Habe ich einen Vektor [mm] \overrightarrow{a}= \vektor{2\\1}, [/mm] so besteht dieser Vektor aus den Vektorkomponenten [mm] \overrightarrow{a_{x}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{a_{b}} [/mm] mit [mm] \overrightarrow{a_{x}}=\vektor{2\\0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{a_{y}}=\vektor{0\\1} [/mm]

Diese bestehen aus Einheitsvektoren und Vektorkoordinaten.

[mm] \overrightarrow{a_{x}}=a_{x}*\overrightarrow{e_{x}} [/mm]
[mm] \overrightarrow{a_{y}}=a_{y}*\overrightarrow{e_{y}} [/mm]

[mm] a_{x} [/mm] ist daher ein Skalar und entspricht im obigen Beispiel 2.
[mm] a_{y} [/mm] ist auch ein Skalar und entspricht im obigen Beispiel 1.

Der Betrag eines Vektors:

[mm] |\overrightarrow{a}| [/mm] darstellbar als [mm] |\overrightarrow{a_{x}}+\overrightarrow{a_{y}}| [/mm]

Benutzt man den Satz des Pythagoras bei zwei Vektorkomponenten, aus denen sich ein Vektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] ergibt so müsste ja gelten:

[mm] \wurzel{({a_{x}}*\overrightarrow{e_{x}})^2+(a_{y}*\overrightarrow{e_{y}})^2} [/mm]

So weit so richtig?

Jetzt habe ich noch eine kleine Frage:
Wenn ich eine Skalarprodukt berechnen möchte, so brauch ich bei einer Methode ja den cos des Winkels zwischen den beiden zu multiplizierenden Vektoren.
Hat dies einen tiefgründigen Sinn, oder wurde das einfach per Definition so beschlossen?

Ich danke schonmal im Voraus.

Bei weiteren Fragen werde ich den Thread verwenden.
Vektoren sind immerhin ein umfassendes Thema.

Grüße

Bezug

Allgemeines zum Vektorbegriff: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:11 Di 09.11.2010
Autor:	meili

Hallo,

> Keine explizite Frage.
>
>
> Hallo.
>
> Ich betrachte derzeitig Vektoren genauer und möchte gerne
> wissen, ob ich folgendes richtig verstanden habe.
>
> Vektoren sind definiert durch Richtung, Betrag und
> Orientierung.
>  Ein Vektor besteht aus Vektorkomponenten, welche wiederum
> aus Einheitsvektoren und Vektorkoordinaten bestehen.
>
> Habe ich einen Vektor [mm]\overrightarrow{a}= \vektor{2\\1},[/mm] so
> besteht dieser Vektor aus den Vektorkomponenten
> [mm]\overrightarrow{a_{x}}[/mm] und [mm]\overrightarrow{a_{b}}[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{a_{x}}=\vektor{2\\0}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{a_{y}}=\vektor{0\\1}[/mm]
>
> Diese bestehen aus Einheitsvektoren und Vektorkoordinaten.
>
> [mm]\overrightarrow{a_{x}}=a_{x}*\overrightarrow{e_{x}}[/mm]
>  [mm]\overrightarrow{a_{y}}=a_{y}*\overrightarrow{e_{y}}[/mm]
>
> [mm]a_{x}[/mm] ist daher ein Skalar und entspricht im obigen
> Beispiel 2.
>  [mm]a_{y}[/mm] ist auch ein Skalar und entspricht im obigen
> Beispiel 1.

>
>
>
> Der Betrag eines Vektors:
>
>
>
> [mm]|\overrightarrow{a}|[/mm] darstellbar als
> [mm]|\overrightarrow{a_{x}}+\overrightarrow{a_{y}}|[/mm]
>
> Benutzt man den Satz des Pythagoras bei zwei
> Vektorkomponenten, aus denen sich ein Vektor
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] ergibt so müsste ja gelten:
>
> [mm]\wurzel{({a_{x}}*\overrightarrow{e_{x}})^2+(a_{y}*\overrightarrow{e_{y}})^2}[/mm]
>
> So weit so richtig?

man könnte auch schreiben:  [mm]|\overrightarrow{a}|[/mm] =  [mm]\wurzel{a_{x}^2+a_{y}^2}[/mm] = [mm]\wurzel{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}>}[/mm]
>
> Jetzt habe ich noch eine kleine Frage:
>  Wenn ich eine Skalarprodukt berechnen möchte, so brauch
> ich bei einer Methode ja den cos des Winkels zwischen den
> beiden zu multiplizierenden Vektoren.
>  Hat dies einen tiefgründigen Sinn, oder wurde das einfach
> per Definition so beschlossen?

Liegt an der Geometrie; siehe z.B.

Veranschaulichung mit Projektion.

>
> Ich danke schonmal im Voraus.
>
> Bei weiteren Fragen werde ich den Thread verwenden.
>  Vektoren sind immerhin ein umfassendes Thema.
>
> Grüße

Gruß
meili