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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 07.04.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | Sei die folgende Matrix über [mm] \IQ [/mm] gegeben:
[mm] \pmat{ 5 & 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 1 }.
[/mm]
Finde invertierbare Matrizen P,Q so dass PAQ in allgemeiner Normalform ist |
Hallo!
Natürlich habe ich diese Aufgabe bereits versucht zu lösen - mehrmals, ohne den gewünschten Erfolg.
Ich weiß laut Skript, dass die Matrix P eine 3x3 Matrix ist, die invertierbar sein soll. Genauso ist Q invertierbar als 4x4 Matrix.
Nun steht weiter im Skript, dass man P ansieht als Id auf [mm] V_3(\IQ) [/mm] und Q als Id auf [mm] V_4(\IQ), [/mm] dh. also die Basiswechsel zweier Basen.
A stellt ja eine Lineare Abbildung [mm] f_A [/mm] dar mit:
[mm] f_A: V_4(\IQ) \to V_3(\IQ), [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] Av
Damit ist A einzig die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bezüglich der Standardbasen.
Jetzt bin ich an einer Stelle, an der ich nicht weiter machen kann.
Laut Skript gibt es je eine zweite Basis von [mm] V_4(\IQ) [/mm] und [mm] V_3(\IQ), [/mm] die den eben benannten Basiswechsel bestimmen.
Die Definition besagt P und Q sind nicht eindeutig bestimmt, was mir einleuchten würde, wenn man sie bezüglich anderer zweiter Basen der jeweiligen Vektorräme errechnen müsste.
Also habe ich mir dann neue Basen gesucht (ganz beliebig) und damit P und Q bestimmt.
Ich habe dann PAQ berechnet, und leider keine allgmeine Normalform erreicht (Ich kenne Sie, da ich sie ja mit elemtaren Umformungen auf A bestimmen kann, was hier ja nicht verlangt wird). Nicht einmal eine Matrix mit annähernder Gestalt einer Normalform.
Es soll einen Algorithmus geben, welcher auf elementaren Zeilenumformungen beruht, zur Berrechnung von P bzw. Q. Diesen kann ich in meinem Skript leider nnicht ausfindig machen (hier wird auf sieselbe Aufgabe verwiesen), ebenfalls in keiner der Bücher, welche mitlerweile in meinem Besitz sind.
Ich verzweifle schon an dieser Aufgabe, wenn mich da einer Retten könnte wär das echt eine coole Aktion*grins*.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 07.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
etwas ganz entscheidenes fehlt aber noch:
wie sieht denn deine allgemeine Normalenform aus?
Ich denke mal du willst sie auf sowas ähnliches wie Diagonalgestalt bringen.
Da fiel mir doch glatt ein älterer Thread wieder ein, der dann ziemliche Ähnlichkeit haben dürfte: read?t=89280
Du musst halt darauf aufpassen, dass dein Körper nicht [mm] $\IR$ [/mm] ist, sondern [mm] $\IQ$ [/mm] ( d.h. du darfst nicht mit Wurzel(2) multiplizieren oder sowas)
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 11.04.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo,
Ich soll mal schreiben wie die Normalform denn aussehen müsste, also tue ich das auch:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das weiß ich aber wie gesagt nur, da ich ja den Rang der gegebenen Matrix ausrechnen kann und die allgemeine Normalform selben Rang hat, eben nur mit 1 sonst Nullen.
Also die Form:
[mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Die Aufgabe ist aber doch zwei invertierbare Matrizen P und Q zu finden mit PAQ ist allgemeine Normalform von A.
Die finde ich aber leider nicht!
Also all zu dringend ist das auch nicht, da es in der Klausur nicht vorkam, allerdings würde ich diesen besagten Algorithmus schon gerne kennen.
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Grüße!
Also, dass diese Normalform so existiert, liegt ja an allgemeiner Theorie. Wenn eine beliebige lineare Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$ gegeben ist, dann ist der Kern von $f$ ein Unterraum von $V$. Man wähle eine Basis dieses Unterraums und ergänze diese zu einer Basis von $V$. Nach Umsortierung erhält man dann eine Basis von $V$, sagen wir [mm] $v_1, \ldots, v_r, v_{r+1}, \ldots, v_n$, [/mm] wobei [mm] $v_{r+1}, \ldots, v_n$ [/mm] die Basis vom Kern sein sollen. Dann folgt, dass [mm] $f(v_1), \ldots, f(v_r)$ [/mm] linear unabhängig in $W$ sind und den Bildraum aufspannen. Ergänzt man diese $r$ Vektoren beliebig zu einer Basis von $W$ und betrachtet dann die Matrixdarstellung von $f$ bezüglich dieser beiden Basen, so hat die Matrix die gewünschte Normalform.
Klingt schrecklich? Aber daraus kann man leicht ein Verfahren ableiten, um $P$ und $Q$ zu bestimmen: zunächst sucht man sich eine Basis des Kerns von $f$, dazu muss man nur das homogene Gleichungssystem $Av = 0$ allgemein lösen. Diese Basis ergänzt man mit linear unabhängigen Vektoren beliebig und erhält eine Basis von $V$, in diesem Fall [mm] $\IQ^3$. [/mm] Die Matrix $P$ hat nun als Spalten einfach diese gefundenen Basisvektoren.
$Q$ ermittelt man ebenso... man schaut sich die Bilder der ergänzten Basisvektoren an und ergänzt diese zu einer Basis von $W$, hier also [mm] $\IQ^4$ [/mm] und schreibt diese Basisvektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix $Q$... voilà. 
Gnometech
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 13.04.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Haudi,
Ich meine, nach der Theorie meines Skriptes und nach reichlich investierter Zeit müsste es doch so sein:
A ist Darstellungsmatrix folgender Linearen Abblidung
[mm] f_A [/mm] : [mm] \IQ^4 \to \IQ^3 [/mm] , v [mm] \mapsto [/mm] A*v bezüglich der Standardbasen der jeweiligen Vektorräume.
Wenn ich also letztlichen Artickel betrachte, müsste doch gelten:
V = [mm] \IQ^4 [/mm] und W = [mm] \IQ^3
[/mm]
Aber die Basis des Kern von [mm] f_A [/mm] muss ich ja doch berechnen, diese ist meiner Meinung nach bestehend aus diesen Vektoren: [mm] \vektor{ 1 \\ -2,5 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ -0,5 \\ 0 \\ 1 } [/mm]
Diese Vektoren aus [mm] \IQ^4 [/mm] muss ich jetzt ergänzen zu einer Basis des [mm] \IQ^4.
[/mm]
Also: [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \vektor{ 1 \\ -2,5 \\ 1 \\ 0 } \vektor{ 0 \\ -0,5 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Diese müssten doch beliebig wählbar sein, solange eine Basis entsteht, oder?
Diese Vektoren in eine Matrix geschrieben ergeben dann die Matrix Q ( sie muss wegen des angestrebten Multiplizierens eine 4x4 Matrix sein).
Weiter errechne ich die Bilder der ergänzten Vektoren:
[mm] f_A [/mm] ( [mm] e_1 [/mm] ) = [mm] \vektor{ 5 \\ 3 \\ 4}, f_A [/mm] ( [mm] e_2 [/mm] ) = [mm] \vektor{ 4 \\ 4 \\ 2 }
[/mm]
Deise ergänzen zu einer Basis des [mm] \IQ^3:
[/mm]
{ [mm] \vektor{ 5 \\ 3 \\ 4 }, \vektor{ 4 \\ 4 \\ 2 }, \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] }
Ebenfalls beliebig wählbar!?
Dann habe ich also die Matrix P mit diesen Vektoren als Spalten.
Brauche ich also nur noch PAQ berechnen.
PA = [mm] \pmat{ 5 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 5 & 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 4 & 2 & 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 41 & 38 & 54 & 19 \\ 27 & 28 & 43 & 14 \\ 26 & 24 & 34 & 12 }
[/mm]
Dann
(PA)*Q = [mm] \pmat{ 41 & 38 & 54 & 19 \\ 27 & 28 & 43 & 14 \\ 26 & 24 & 34 & 12 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 1 & -2,5 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 41 & 38 & 0 & 0 \\ 27 & 28 & 0 & 0 \\ 26 & 24 & 0 & 0 }
[/mm]
Dies ist doch eindeutig nicht die allgemeine Normalform, vermutlich liegt der Fehler, so wie ich das sehe, in der Ergänzung der Basis von [mm] \IQ^3, [/mm] so dass die Matrix P wohl falsche Gestalt hat.
Irgendwie ist das doch komisch, jetzt bin ich richtig verwirrt!!!!
Was mache ich nur falsch?
LG ElemEnt
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Hallo!
Du hast alles richtig gemacht.
Der Fehler liegt bei mir. Ich habe vergessen zu erwaehnen, dass der Basiswechsel in dem einen Raum natuerlich in die andere Richtung gehen muss... formal liegt das daran, dass das Diagramm des Basiswechsels kommutieren muss.
Konkret: ersetze $P$ durch ihre Inverse und alles kommt richtig heraus. Fuer die Inverse habe ich uebrigens
[mm] $P^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{2}{5} & -\frac{3}{10} \\ 1 & - \frac{3}{5} & -\frac{4}{5}\end{pmatrix}$
[/mm]
Dann sollte [mm] $P^{-1}AQ$ [/mm] das Gewuenschte liefern.
Frohe Ostern!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Fr 14.04.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hi !!
ich danke euch für eure Hilfe, jetzt habe ich wirklich die allgemeine Normalform gefunden.
Habe aber noch eine kleine Frage *grins*
Wenn ich zeigen soll, dass zwei Matrizen A und C ähnlich sind, muss ich ja eine Matrix T finden mit [mm] T^{-1} [/mm] AT = C.
Mache ich das nach ähnlichem Prinzip, höre dann nur schon bei der gefundenen Matrix Q auf? Dann müsste ja Q = T (bzw. [mm] T^{-1}) [/mm] gelten,
oder sollte ich mich hier täuschen?
Auf alle Fälle wünsche ich euch auch allen ein
gesegnetes Osterfest
Daniel
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Grüße!
Naja, das Problem ist deutlich schwerer zu lösen. Es kann gut sein, dass es ein Verfahren gibt, mit dem man direkt, d.h. durch Angabe einer invertierbaren Matrix $T$ zeigen kann, dass zwei Matrizen ähnlich sind, aber mir ist kein Weg bekannt, für beliebige ähnliche Matrizen das $T$ zu finden.
Es ist ja so: die "Normalform" ist die Form, auf die man jeden Homomorphismus bringen kann, wenn man beliebige Basiswechsel im Quell- und Zielraum zuläßt. Die einzige Invariante, die dabei übrig bleibt, ist der Rang der Abbildung.
Betrachtet man nun Endomorphismen, also Abbildungen eines Vektorraumes in sich, dann möchte man zwar auch Basiswechsel zulassen, aber da Quell- und Zielraum identisch sind, verlangt man, dass auch stets die gleiche Basis für Quelle und Ziel genutzt wird. Hier wird die Situation deutlich schwieriger, z.B. ist nicht jede Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix, soll heißen nicht jeder Endomorphismus besitzt Eigenvektoren, die eine Basis bilden.
Es gibt eine allgemeine Theorie, die der Jordanschen Normalform, die genauer angibt, auf welche "Normalform" sich jeder Endomorphismus mittels geeigneter Basiswahl bringen läßt, die Theorie funktioniert jedoch nur gut über algebraisch abgeschlossenen Körpern, wie [mm] $\IC$. [/mm]
Aber die Tatsache, dass ich kein besseres Verfahren kenn, heißt natürlich nicht, dass es keines gibt. 
Frohe Ostern!
Lars
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