Allgemeine Lösung beweisen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man betrachte die Differentialgleichung [mm]y'' = -y[/mm]
Offensichtlich sind [mm]sin[/mm] und [mm]cos[/mm] zwei Lösungen.
a) Man zeige, dass jede Funktion der Form [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm] eine glatte, auf ganz [mm]\IR[/mm] definierte Lösung ist, wobei [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] von [mm]x[/mm] unabhängige Konstanten sind.
b) Man zeige, dass jede glatte, auf ganz [mm]\IR[/mm] definierte Lösung von der Form [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm] ist, wobei [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] von [mm]x[/mm] unahhängige Konstanten sind. |
Hallo allerseits,
das die Sinusfunktion und die Kosisnusfunktion Lösungen der angegeben Differentialgleichung sind, sehe ich ein. Das liegt an der Periodizität von sin und cos.
Aufgrund dieser Besonderheit ist mir auch klar, dass die angegebene Funktion [mm]f(x)[/mm] unendlich oft diffbar (und somit glatt) ist.
Trotzdem weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich würde mich daher über Tipps freuen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 16.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man betrachte die Differentialgleichung [mm]y'' = -y[/mm]
>
> Offensichtlich sind [mm]sin[/mm] und [mm]cos[/mm] zwei Lösungen.
>
> a) Man zeige, dass jede Funktion der Form [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm] eine
> glatte, auf ganz [mm]\IR[/mm] definierte Lösung ist,
> wobei [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] von [mm]x[/mm] unabhängige Konstanten
> sind.
>
> b) Man zeige, dass jede glatte, auf ganz [mm]\IR[/mm] definierte
> Lösung von der Form [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm] ist,
> wobei [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] von [mm]x[/mm] unahhängige Konstanten
> sind.
>
>
> Hallo allerseits,
>
> das die Sinusfunktion und die Kosisnusfunktion Lösungen
> der angegeben Differentialgleichung sind, sehe ich ein. Das
> liegt an der Periodizität von sin und cos.
Hä ??
Es liegt daran, dass
(sin(x))''=-sin(x) und (cos(x))''= -cos(x)
ist.
>
> Aufgrund dieser Besonderheit ist mir auch klar, dass die
> angegebene Funktion [mm]f(x)[/mm] unendlich oft diffbar (und somit
> glatt) ist.
>
> Trotzdem weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.
Es ist $ f(x) = [mm] \alpha [/mm] sin(x) + [mm] \beta [/mm] cos(x) $
Berechne f' und dann f''.
Dann solltest Du sehen, dass f=-f'' ist.
FRED
>
> Ich würde mich daher über Tipps freuen.
|
|
|
| |
|
> Es ist [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm]
>
> Berechne f' und dann f''.
>
> Dann solltest Du sehen, dass f=-f'' ist.
Genau: f=-f'' bzw. f''=-f
Damit ist ja gezeigt, dass jede Funktion f(x) dieser Form die Differentialgleichung y''=-y erfüllt.
Wie aber zeige ich, dass f(x) glatt (und auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert) ist? Muss da ein Induktionsbeweis her oder gibt es auch andere Möglichkeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 18.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm]
> >
> > Berechne f' und dann f''.
> >
> > Dann solltest Du sehen, dass f=-f'' ist.
>
> Genau: f=-f'' bzw. f''=-f
>
> Damit ist ja gezeigt, dass jede Funktion f(x) dieser Form
> die Differentialgleichung y''=-y erfüllt.
>
> Wie aber zeige ich, dass f(x) glatt (und auf ganz
> [mm]\IR[/mm] definiert) ist?
Das dürfte bei dieser Funktion
$ f(x) = [mm] \alpha [/mm] sin(x) + [mm] \beta [/mm] cos(x) $
doch klar sein !
FRED
> Muss da ein Induktionsbeweis her oder
> gibt es auch andere Möglichkeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Fr 18.10.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> Das dürfte bei dieser Funktion
>
> [mm]f(x) = \alpha sin(x) + \beta cos(x)[/mm]
>
> doch klar sein !
Für sin und cos ist's offensichtlich und daher wohl auch für eine aus diesen beiden Funktionen zusammengesetzte Funktion. Da hast Du wohl recht – danke!
|
|
|
|
