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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi. Ich habe hier eine Frage zu den Partialsummen bzw. zu einem Beispiel für die Divergenz der harmonische Reihe
[mm] $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k}=\infty$
[/mm]
[mm] $n\ge 2^\nu, \nu \in \mathbb [/mm] N $
[mm] $s_n [/mm] = [mm] 1+0.5+1/3+...+1/n\ge1+0.5+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+....+(\frac{1}{2^{\nu-1}+1}+...\frac{1}{2^\nu})$
[/mm]
[mm] $\ge 1+0.5+2*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{8}+2^{\nu-1}*\frac{1}{2^\nu}=1+\frac{\nu}{2}$
[/mm]
Wie kann man da jetzt auf Divergenz schließen?
Indem man jetzt noch den [mm] $\lim_{\nu \to \infty}$ [/mm] nimmt?
Und wie kommt man vom letzten Schritt auf der Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen? Warum steht da +1? Und wieso [mm] \nu/2? [/mm] Ich meine, [mm] 2^{\nu-1}/2^\nu [/mm] ist ein halb! Wo kommt das [mm] \nu [/mm] im Zähler her?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Phoney,
> Hi. Ich habe hier eine Frage zu den Partialsummen bzw. zu
> einem Beispiel für die Divergenz der harmonische Reihe
>
> [mm]\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k}=\infty[/mm]
>
> [mm]n\ge 2^\nu, \nu \in \mathbb N[/mm]
>
> [mm]s_n = 1+0.5+1/3+...+1/n\ge1+0.5+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+....+(\frac{1}{2^{\nu-1}+1}+...\frac{1}{2^\nu})[/mm]
>
>
> [mm]\ge1+0.5+2*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{8}+2^{\nu-1}*\frac{1}{2^\nu}=1+\frac{\nu}{2}[/mm]
>
> Wie kann man da jetzt auf Divergenz schließen?
>
> Indem man jetzt noch den [mm]\lim_{\nu \to \infty}[/mm] nimmt?
Ja.Ursprünglich betrachtest du ja [mm] $n\to\infty$, [/mm] das n hast du ja weiter oben durch [mm] 2^\nu [/mm] "ersetzt" und lässt stattdessen jetzt [mm] \nu [/mm] laufen.
>
> Und wie kommt man vom letzten Schritt auf der Ergebnis
> hinter dem Gleichheitszeichen? Warum steht da +1? Und wieso
> [mm]\nu/2?[/mm] Ich meine, [mm]2^{\nu-1}/2^\nu[/mm] ist ein halb! Wo kommt
> das [mm]\nu[/mm] im Zähler her?
Es ist etwas unsauber aufgeschrieben, deshalb erkennst du es nicht. Es sollte besser so heissen:
[mm] \ge1+0.5+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+....+(\frac{1}{2^{\nu-1}+1}+...+\frac{1}{2^\nu})
[/mm]
[mm] \ge 1+\bruch{1}{2}+2*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{8}+...+2^{\nu-1}*\frac{1} {2^\nu}=1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{2} [/mm] und du addierst ingesammt [mm] $\nu$-mal \bruch{1}{2} [/mm] auf, daher das [mm] \nu [/mm] im Zähler. Naja, und die +1 kommt, weil die halt noch vom Anfang da steht.
Alles klar?
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Dankeschön. Jetzt ist alles klar.
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