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Alle Lösungen z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Mo 23.08.2010
Autor: Lyricus

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \varepsilon [/mm] C der nachstehenden Gleichung in kartesischer Darstellung.

(z + [mm] i/2)^3 [/mm] = -i/2


Hi,
bin mal wieder fleißig am büffeln und auf diese art von aufgabe gestoßen; weiß leider nichts damit anzufangen :)

Ich bin wie folgt vorgegangen:

Als 1. setze ich [mm] \alpha=(z [/mm] + i/2), sodass dort steht:

[mm] \alpha [/mm] ^3=-i/2

dann hab ich mir den winkel [mm] \gamma [/mm] überlegt nämlich [mm] 3*\pi/2 [/mm]

ich kamm dann auf folgende Form:

[mm] \alpha [/mm] _{0} = [mm] \wurzel[3]{1/2} \* e^{i\*(3\*\pi/2)/3}= \wurzel[3]{1/2} \* [/mm] (cos [mm] \pi/2 [/mm] + i [mm] \* [/mm] sin [mm] \pi/2) [/mm]

cos [mm] \pi/2 [/mm] = 0 , sin [mm] \pi/2 [/mm] = 1

[mm] \alpha [/mm] _{0} =  [mm] \wurzel[3]{1/2} \* [/mm] i

z + i/2 =  [mm] \wurzel[3]{1/2} \* [/mm] i

z0 =  [mm] \wurzel[3]{1/2} \* [/mm] i - i/2

Ist das soweit richtig?

In der Lösung steht: [mm] \bruch{ \wurzel{3} - 1}{2} \*i [/mm]

Vielen dank falls jemand antwortet :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Alle Lösungen z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Mo 23.08.2010
Autor: leduart

Hallo   Lyricus

        [willkommenmr]

Deine Lösung ist richtig, die Lösung   $ [mm] \bruch{ \wurzel{3} - 1}{2} [/mm] *i $ ist falsch
du solltest vielleicht noch umschreiben in [mm] (\bruch{1}{\wurzel[3]{2}}-\bruch{1}{2})*i=\bruch{\wurzel[3]{4}-1}{2}*i [/mm]
ausserdem noch die 2 anderen z die zum Winkel [mm] 3\pi/2+2/3\i [/mm] und [mm] 3\pi/2+4/3 \pi [/mm] von -i/2 gehören.
ne zeichnung in der komplexen Ebene helfen dir immer deine Werte zu kontrollieren.

Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Alle Lösungen z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mo 23.08.2010
Autor: Lyricus

oh mann, danke für die schnelle antwort, fünf stunden hab ich jetzt daran gesessen und an die unfehlbarkeit meines Dozenten geglaubt.
Die 2 anderen z berechne ich noch!
nochmal vielen dank! :)

Gruß Lyricus

Bezug
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