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| Aufgabe | Sei f stetig und [mm] 2\pi-periodisch [/mm] mit absolut summierbaren Fourierkoeffizienten [mm] (\hat{f}(n))_{n\in \IZ}. [/mm] Deren approximation durch die Mittelpunktregel lautet
[mm] \widetilde{\hat{f_N}}(n)=\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}f(t_j)e^{-int_j} [/mm] mit [mm] t_j=\bruch{2j+1}{2}\cdot \bruch{2\pi}{N}
[/mm]
Zeige die Aliasing-Formel
[mm] \widetilde{\hat{f_N}}(n)=\summe_{l=-\infty}^{\infty}(-1)^l\hat{f}(n+l\cdot [/mm] N) |
hallo,
ich habe folgendes gemacht
[mm] \widetilde{\hat{f_N}}(n)=\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}f(t_j)e^{-int_j}= \bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}\underbrace{e^{-in(\bruch{2j+1}{2}\cdot{\bruch{2\pi}{N})}}}_{w_N^{-n(\bruch{2j+1}{2})}}f(t_j)=\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}w_N^{-n(\bruch{2j+1}{2})}f(t_j)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}w_N^{-n(\bruch{2j+1}{2})}\summe_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{ik(\bruch{2j+1}{2})} [/mm] = [mm] \summe_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}w_N^{-n(\bruch{2j+1}{2})}w_N^{k(\bruch{2j+1}{2})}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)\bruch{1}{N}\summe_{j=0}^{N-1}w_N^{(\bruch{2j+1}{2})(k-n)}
[/mm]
irgendwie komme ich nicht weiter, kann mir daher jemand weiterhelfen. Ist es bis dahin richtig? dankeschön im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 06.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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