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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Sei eine bel. Menge = [mm] \IN
[/mm]
Zeigen Sie, dass das Mengensystem
[mm] \mathcal{A} [/mm] := [mm] {\{A \subset \IN | A endlich oder A Komplement endlich}\}
[/mm]
zwar eine Algebra, aber keine sigma-Algebra ist.
Zur Erinnerung: Ein Mengensystem R ist eine Algebra, wenn es die folgenden drei Axiome erfüllt:
(A1) bel. Menge Omega [mm] \in [/mm] R
(A2) Wenn A [mm] \in [/mm] R, dann auch A Komplement [mm] \in [/mm] R.
(A3)Wenn A,B [mm] \in [/mm] R, dann auch A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] R.
[mm] \mathcal{A} [/mm] ist genau dann eine Sigma-Algebra, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(S1) [mm] \emptyset \in \mathcal{A}
[/mm]
(S2) A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] => A Komlement [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(S3) Aj [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit j [mm] \in \IN [/mm] => [mm] \bigcup_{j=1}^{\infty} [/mm] Aj [mm] \in \mathcal{A} [/mm] |
Hallo!
Gezeigt, dass das Mengensystem eine Algebra ist, haben wir soweit, außer dass das wir Probleme beim 3. Axiom (A3) haben. Denn wie kann man denn zeigen, dass wenn A und B endlich sind, auch die Vereinigung bzw. A Komplement und B Komplement endlich sind, deren Vereinigung auch endlich ist?
Und dass es keine Sigma-Algebra ist, muss ja auch im Unterschied mit dem 3. Axiom liegen. Denn bei einer Sigma-Algebra geht es ja nicht um die endlich, sondern die unendliche Vereingung!
Vielleicht hat jemand ein Tipp oder eine bessere Idee als wir! Würden uns über jede Hilfe freuen ;o)
LG Coco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 08.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Coco84,
dass es keine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] erkennt man an folgendem Gegenbeispiel:
Betrachte die Mengen [mm] $A_i \in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A_i=\{2i\}$. [/mm] Die Vereinigung dieser Mengen ist die unendliche Menge der gerade Zahlen und ihr Komplement ist die Menge der ungeraden Zahlen, die ebenfalls unendlich ist.
Und dass das 3. Axiom fuer eine Algebra erfuellt ist sieht man so: Ist [mm] $\bar [/mm] A$ oder [mm] $\bar [/mm] B$ endlich, so ist das Komplement $ [mm] \overline{A\cup B} [/mm] = [mm] \bar A\cap \bar [/mm] B$ endlich. Ist [mm] $\bar [/mm] A$ und [mm] $\bar [/mm] B$ unendlich, so ist $A$ und $B$ endlich, also auch $A [mm] \cup [/mm] B$.
hth
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