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Sei 2 [mm] \le [/mm] n in [mm] \IN [/mm] und p prim mit n kleiner [mm] p^{2}. [/mm] Zeigen Sie: Ist P eine p-Sylow-UG von Sn, so ist P abelsch. </task>
Das ist eine Klausuraufgabe zu dem ich den Trick einfach nicht finde. Falls jemand eine spontane Lösung hat... Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei 2 [mm]\le[/mm] n in [mm]\IN[/mm] und p prim mit n kleiner [mm]p^{2}.[/mm] Zeigen
> Sie: Ist P eine p-Sylow-UG von Sn, so ist P abelsch.
>
> Das ist eine Klausuraufgabe zu dem ich den Trick einfach
> nicht finde. Falls jemand eine spontane Lösung hat...
Ich wuerde erstmal die Ordnung von $P$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, wieoft $p$ die Ordnung von [mm] $S_n$ [/mm] teilt, also wieoft $p$ $n!$ teilt. Da $n < [mm] p^2$ [/mm] ist, kann [mm] $p^2$ [/mm] keinen der Faktoren von $n!$ teilen. Damit musst du einfach zaehlen, wie viele Vielfache von $p$ es [mm] $\le [/mm] n$ gibt; ist die Anzahl der Vielfachen $k$, so ist $|P| = [mm] p^k$.
[/mm]
Hmm, jetzt merk ich allerdings das man damit erstmal nicht weiterkommt, da man aus den Voraussetzungen erstmal nur $k < [mm] \lfloor \frac{n}{p} \rfloor \le \frac{n}{p} [/mm] < [mm] \frac{p^2}{p} [/mm] = p$ bekommt. Wenn man stattdessen die Voraussetzung $n < 3 p$ haette, so waer $k [mm] \le [/mm] 2$ und daraus wuerde folgen, dass $P$ abelsch ist.
Was man zumindest hat ist, dass jedes Element in $P$ hoechstens Ordnung $p$ hat; andernfalls muesste es in [mm] $S_n$ [/mm] Elemente der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] geben, was nur geht, wenn $n [mm] \ge p^2$ [/mm] ist (Skizze: Zerlegung in disjunkte Zyklen, Ordnung ist kgV der Zykellaengen).
Ich werd noch weiter drueber nachdenken, eine Loesung faellt mir leider gerade nicht ein :-/
LG Felix
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