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| Aufgabe | | Durch [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] wird im R³ bezüglich eines cartesischen Koordinatensystems eine schräge Projektion auf eine Ebene F beschrieben. Welche Ebene ist das, welche projektionsrichtung ( Angabe eines Vektors ungleich 0 ) liegt vor; und welchen Winkel alpha hat dieser Vektor zu der Ebene? |
Ich habe den Eigenvektor (1/0/1) berechnet und woher weiß ich dass die xy- Ebene gemeint ist?
Lg Anna
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Hallo!
Du benötigst zwei Eigenvektoren, denn die spannen ja die Ebene auf.
Daraus bastelst du dir die Ebene (sie geht durch den Ursprung).
Danach kannst du dir einen Vektor ausdenken, z.B. (0,0,1), und bildest ihn mittels der Matrix auf die Ebene ab. Du bekommst also den Vektor heraus, auf den dein Vektor abgebildet wird.
Von diesen beiden Vektoren bildest du die Differenz - dieser Differenzvektor zeigt von deinem Punkt auf den abgebildeten Punkt, und dessen Winkel zu der Ebene ist der gesuchte.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Lisalou85 |
Angenommen ich habe zwei Eigenvektoren
v1=(5/1/0) und v2=(1/0/1) und die Ebene geht durch den Ursprung
dann kann ich ja eine Ebenengleichung aufstellen
zB:
[mm] E=\vektor{0 \\ 0\\ 0} +r\vektor{5 \\ 1 \\ 0}+s\vektor{1 \\ 0 \\1}
[/mm]
okay woher weiß ich aber jetzt dass das eine xy- Ebene ist?
Achja und den Winkel haben wir über den Lotvektor zur xy-ebene berechnet.
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> Durch [mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x \\ y \\ z }[/mm] wird im R³ bezüglich eines
> cartesischen Koordinatensystems eine schräge Projektion auf
> eine Ebene F beschrieben. Welche Ebene ist das, welche
> projektionsrichtung ( Angabe eines Vektors ungleich 0 )
> liegt vor; und welchen Winkel alpha hat dieser Vektor zu
> der Ebene?
> Ich habe den Eigenvektor (1/0/1) berechnet und woher weiß
> ich dass die xy- Ebene gemeint ist?
Die zwei linear-unabhängigen Eigenvektoren
[mm]\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}[/mm]
zum Eigenwert $1$ (direkt aus der Matrix ablesbar) spannen die Fläche auf, auf die projiziert wird: denn jeder Vektor in diesem 2-dim Eigenraum (offenbar ist es die xy-Ebene) ist ein Fixvektor.
Die Projektionsrichtung ist die Richtung eines Eigenvektors zum Eigenwert 0. Z.B. von
[mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm]
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