Algebra < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Deshayes |
| Aufgabe | Wie heißen die maximalen Ideale im Polynomring in n Variablen über dem Körper der reellen Zahlen?
Zu verwenden ist der Hilbertsche Nullstellensatz, mit dem das gleiche Problem im Falle des Polynomrings über den komplexen Zahlen gelöst werden kann. |
Wie heißen die maximalen Ideale im Polynomring in n Variablen über dem Körper der reellen Zahlen?
Ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie heißen die maximalen Ideale im Polynomring in n
> Variablen über dem Körper der reellen Zahlen?
> Zu verwenden ist der Hilbertsche Nullstellensatz, mit dem
> das gleiche Problem im Falle des Polynomrings über den
> komplexen Zahlen gelöst werden kann.
> Wie heißen die maximalen Ideale im Polynomring in n
> Variablen über dem Körper der reellen Zahlen?
Meistens werden maximale Ideale mit [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] oder $M$ bezeichnet. Du kannst ihnen natuerlich auch beliebige andere Namen geben, etwa Bert oder Hans oder was auch immer...
Scherz beiseite: Was sind denn deine Gedanken zur Aufgabe? Oder erwartest du von uns, das wir dir die Loesung liefern, so dass du sie nur noch auf ein Blatt Papier schreiben und dieses abgeben musst?
Schau dir doch erstmal die Situation in [mm] $\IC[x_1, \dots, x_n]$ [/mm] an. Wie sehen die maximalen Ideale dort aus?
Und jetzt in [mm] $\IR[x_1, \dots, x_n]$. [/mm] Sei [mm] $\mathfrak{m}$ [/mm] ein maximales Ideal. Dann ist [mm] $\IR[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{m}$ [/mm] ein Koerper, und zwar eine Koerpererweiterung von [mm] $\IR$. [/mm] Nun gibt es zwei Moeglichkeiten: Entweder ist [mm] $\IR[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{m} \cong \IR$ [/mm] oder [mm] $\IR[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{m} \cong \IC$ [/mm] (warum?).
Erstmal zum ersten Fall. Hast du eine Idee, wie das Ideal dort aussieht? Wenn nicht, ueberleg dir wie man ueber [mm] $\IC$ [/mm] zeigt, dass die Ideale dort so aussehen; genau den gleichen Trick kann man auch hier verwenden.
Zum zweiten Fall: Schau dir das doch erstmal im Fall $n = 1$ an. Was kannst du ueber das Ideal sagen? Und jetzt der Fall $n = 2$. Wie sieht das Ideal dann aus (mach Fallunterscheidungen)? Wenn du das hast, versuch das mal fuer allgemeines $n$ hinzubekommen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 04.06.2006 | | Autor: | Deshayes |
Bedanke mich für die schnelle Antwort.
den Hinweis auf die beiden Fälle finde ich gut.
Für n=1 ist mir die Sache klar, Hauptidealring.
Leider konnte ich den Fall n=2 nicht lösen.
Vieleicht könntest Du mir noch einen Tipp geben.
Gruss
Deshayes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Deshayes!
> Bedanke mich für die schnelle Antwort.
> den Hinweis auf die beiden Fälle finde ich gut.
> Für n=1 ist mir die Sache klar, Hauptidealring.
Und was ist die Loesung?
> Leider konnte ich den Fall n=2 nicht lösen.
Was hast du denn versucht?
Wenn du ein maximales Ideal [mm] $\mathfrak{m} \subseteq \IR[x, [/mm] y]$ hast mit [mm] $\IR[x, y]/\mathfrak{m} \cong \IR$, [/mm] schau dir mal das Bild von $x$ und $y$ unter der Restklassenabbildung [mm] $\IR[x, [/mm] y] [mm] \to \IR[x, y]/\mathfrak{m} \cong \IR$ [/mm] (wobei der letzte Isomoprhismus der Isomoprhismus $IR [mm] \to \IR[x, [/mm] y] [mm] \to \IR[x, y]/\mathfrak{m}$ [/mm] ist); seien die Bilder etwa [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] und [mm] $\beta \in \IR$. [/mm] Jetzt kannst du zeigen, dass [mm] $\mathfrak{m} [/mm] = [mm] \langle [/mm] x - [mm] \alpha, [/mm] y - [mm] \beta \rangle$ [/mm] ist.
Wenn [mm] $\IR[x, y]/\mathfrak{m} \cong \IC$ [/mm] ist, so ist die Restklasse [mm] $\overline{x}$ [/mm] von $x$ entweder in [mm] $\IR$, [/mm] oder es gilt [mm]\IR[\overline{x}] = \IC[/mm]. Womit [mm]\overline{y} \in \IR[\overline{x}][/mm]$ ist, also $y$ Nullstelle eines Polynoms [mm]t^2 - a t - b \in (\IR[\overline{x}])[t][/mm] ist. Versuch da mal ein wenig rumzurechnen. Auf diese Weise kannst du mit etwas Fallunterscheidung alle Faelle totschlagen.
Schliesslich musst du noch zeigen, dass nur [mm] $\IR[x, y]/\mathfrak{m}$ [/mm] nur [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] (bis auf Isomorphie) sein kann. (Dazu brauchst du den Nullstellensatz.)
LG Felix
|
|
|
|
