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Hallo!
Diese Aufgabe haben wir bereits gelöst, aber ich verstehe manche Schritte nicht, deshalb bitte ich, dass mir jemand die mir unklaren Schritte erklärt. Danke.
Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum, und seien x [mm] \in [/mm] V und U ein Unterraum von V.
Sei L= x+U der durch x und U gegebene affine Unterraum von V.
Zu zeigen ist:
a) Ist y [mm] \in [/mm] L, so ist L= y+U
Lösung: Diese Lösung habe ich verstanden:
Es gilt: Sei L= x+U. Dann gilt für alle y [mm] \in [/mm] V: [mm] y\in [/mm] L gdw x-y [mm] \in [/mm] U.
Sei nun y [mm] \in [/mm] L.
Dann: y=x+z für ein z [mm] \in [/mm] U, also x= y-z. Daraus folgt, dass L=y-z+U, also L= y+U, da z [mm] \in [/mm] U. q.e.d
b) Seien [mm] y_{0}, y_{1}, y_{2} \in [/mm] Lpaarweise verschieden. Für alle eindimensionalen Unterräume U' [mm] \subseteq [/mm] U sei [mm] y_{1} \not\in y_{0}+U' [/mm] oder [mm] y_{2} \not\in y_{0}+U'.
[/mm]
Zu ziegen ist, dass [mm] y_{1}- y_{0} [/mm] und [mm] y_{2}- y_{0} [/mm] linear unabhängig sind.
Diese Lösung habe ich nicht verstanden, kann sie mir bitte jemand erläutern? Also hier die Lösung:
U' [mm] \subseteq [/mm] U, dum U = dim U' = 1, d.h. n= 1.
Sei L= [mm] y_{0}+U'
[/mm]
Es gilt [mm] y_{1}- y_{0}, y_{2}- y_{0} [/mm] sind linear unabhängig
gdw dim < { [mm] y_{1}- y_{0}, y_{2}- y_{0}}> [/mm] = 2 ist (Warum gleich 2???)
gdw Dimension von L = [mm] y_{0}+U' [/mm] größer 1 ist (Warum größer 1???)
gdw für alle URe der Dimension 1 [mm] y_{1} \not\in y_{0}+U' [/mm] oder [mm] y_{2} \not\in y_{0}+U' [/mm] ist.
Ich kapier die Lösung der Aufgabe b) nicht.
Vielen Danke für eine Erklärung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 08.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen
> Diese Lösung habe ich nicht verstanden, kann sie mir bitte
> jemand erläutern? Also hier die Lösung:
>
> U' [mm]\subseteq[/mm] U, dum U = dim U' = 1, d.h. n= 1.
> Sei L= [mm]y_{0}+U'[/mm]
> Es gilt [mm]y_{1}- y_{0}, y_{2}- y_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sind linear unabhängig
> gdw dim < { [mm]y_{1}- y_{0}, y_{2}- y_{0}}>[/mm] = 2 ist (Warum
> gleich 2???)
angenommen die dimension von dem teil ist nicht 2. dann muss sie 1 sein. also sind die beiden vektoren im selben eindimensionalen UR. dann sind sie aber lin. abh. (widerspruch)
andersrum: wenn die dimension von dem erzeugnis 2 ist, dann sind die vektoren lin. unabhaengig, da sonst die dimension vom erz. ja 1 waere...
> gdw Dimension von L = [mm]y_{0}+U'[/mm] größer 1 ist (Warum größer 1???)
gemeint ist hier wahrscheinlich dass die dimension von dem erzeugnis von [mm] $y_0$ [/mm] und $U'$ groesser 1 ist. [mm] $\dim(U')$ [/mm] war ja nach vorauss. 1. (etwas seltsame notation, oder vielleicht habe ich tomaten auf den augen).
vielleicht hilft das ja ein wenig.
--felix
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