Adjungierter End. Beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob mein Beweis richtig ist. Vielleicht könnt ihr mal drüber schauen? Wäre wirklich nett.
Aufgabe: Es sei [mm] \Phi [/mm] ein Endomorphismus eines euklidischen Vektorraums V mit Skalarprodukt < * , * >. Zu [mm] \Phi [/mm] existiere der adjungierte Endomorphismus [mm] \Phi^{+}. [/mm] Weiter sei
[mm] \Delta [/mm] := [mm] \Phi \circ \Phi^{+} [/mm] + [mm] \Phi^{+} \circ \Phi
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] Kern(\Delta) \subseteq \{v \in V | \forall w \in V: <\Phi(v), \Phi(w)> + <\Phi^{+}(v), \Phi^{+}(w)> = 0 \}
[/mm]
Mein Beweis:
Ich muss zeigen, dass jedes Element, welches in [mm] Kern(\Delta) [/mm] liegt auch in [mm] \{v \in V | \forall w \in V: <\Phi(v), \Phi(w)> + <\Phi^{+}(v), \Phi^{+}(w)> = 0 \} [/mm] liegt.
Für ein v [mm] \in Kern(\Delta) [/mm] gilt [mm] (\Phi \circ \Phi^{+})(v) [/mm] + [mm] (\Phi^{+} \circ \Phi)(v) [/mm] = 0 [mm] \gdw (\Phi \circ \Phi^{+})(v) [/mm] = [mm] -(\Phi^{+} \circ \Phi)(v).
[/mm]
Sei nun v [mm] \in Kern(\Delta) [/mm] und w [mm] \in [/mm] V beliebig, dann gilt für diese beiden Vektoren:
[mm] <\Phi(v), \Phi(w)> [/mm] + [mm] <\Phi^{+}(v), \Phi^{+}(w)> [/mm] = [mm] <(\Phi^{+} \circ \Phi)(v), [/mm] w> + [mm] <(\Phi \circ \Phi^{+})(v), [/mm] w>
(da [mm] \Phi^{+} [/mm] der zu [mm] \Phi [/mm] selbstadjungierte Endomorphismus ist)
Nun ist aber [mm] (\Phi \circ \Phi^{+})(v) [/mm] = [mm] -(\Phi^{+} \circ \Phi)(v) [/mm]
[mm] \Rightarrow <(\Phi^{+} \circ \Phi)(v), [/mm] w> + [mm] <(\Phi \circ \Phi^{+})(v), [/mm] w> = [mm] <(\Phi^{+} \circ \Phi)(v), [/mm] w> + [mm] <-(\Phi^{+} \circ \Phi)(v), [/mm] w> = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Stimmt das soweit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig !
FRED
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