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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IC^2 [/mm] mit der Basis B seien ein (positiv definites) hermitisches Produkt [mm] \Phi [/mm] und ein Endomorphismus [mm] \varphi [/mm] durch [mm] _{B\Phi B}=\pmat{1 & -1 \\ -1 & 3 } [/mm] und [mm] _{B\varphi B}=\pmat{1 & 1 \\ i & -i } [/mm] gegeben.
berechnen die die adjungierte Abbildung [mm] \varphi^{ad}. [/mm] |
Für die adjungierte Abbildung [mm] \varphi^{ad} [/mm] muss gelten:
[mm] <\varphi (x),y>=
[/mm]
Seien [mm] x=\pmat{x_1\\x_2}, y=\pmat{y_1\\y_2}\in\IC^2
[/mm]
[mm] \varphi (x)=\pmat{x_1\\x_2}*\pmat{1 & 1 \\ i & -i }=\pmat{x_1*x_2 \\ i*x_1-i*x_2}
[/mm]
[mm] \Phi (\varphi (x),y)=\Phi(\pmat{x_1*x_2 \\ i*x_1-i*x_2},\pmat{y_1\\y_2})=\pmat{x_1*x_2 & i*x_1-i*x_2}*\pmat{1 & -1 \\ -1 & 3 }*\pmat{y_1 \\ y_2}=\pmat{(1-i)x_1+(1+i)x_2 & (1+3i)x_1-(1+3i)x_2}*\pmat{y_1 \\ y_2}=(1-i)x_1y_1+(1+i)x_2y_1+(1+3i)x_1y_2-(1+3i)x_2y_2
[/mm]
[mm] \varphi^{\*}(y)=\pmat{\alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} }*\pmat{y_1\\y_2}=\pmat{\alpha_{11}y_1+\alpha_{12}y_2 \\ \alpha_{21}y_1+\alpha_{22}y_2}
[/mm]
[mm] \Phi [/mm] (x, [mm] \varphi^{\*}(y))=\Phi(\pmat{x_1\\x_2}, \pmat{\alpha_{11}y_1+\alpha_{12}y_2 \\ \alpha_{21}y_1+\alpha_{22}y_2})=\pmat{x_1 & x_2}*\pmat{1 & -1 \\ -1 & 3 }*\pmat{\alpha_{11}y_1+\alpha_{12}y_2 \\ \alpha_{21}y_1+\alpha_{22}y_2}=\pmat{x_1-x_2 & 3x_2-x_1}*\pmat{\alpha_{11}y_1+\alpha_{12}y_2 \\ \alpha_{21}y_1+\alpha_{22}y_2}=(\alpha_{11}-\alpha_{21})x_1y_1+(\alpha_{12}-\alpha_{22})x_1y_2+(3\alpha_{21}-\alpha_{11})x_2y_1+(2\alpha_{22}-\alpha_{12})x_2y_2
[/mm]
Es muss also gelten:
[mm] (1-i)x_1y_1+(1+i)x_2y_1+(1+3i)x_1y_2-(1+3i)x_2y_2=(\alpha_{11}-\alpha_{21})x_1y_1+(\alpha_{12}-\alpha_{22})x_1y_2+(3\alpha_{21}-\alpha_{11})x_2y_1+(2\alpha_{22}-\alpha_{12})x_2y_2
[/mm]
Daraus lässt sich ein lineares Gleichungssystem konstruieren:
[mm] \begin{matrix}
\alpha_{11} & & -\alpha_{21} & & = & (1-i) \\
& \alpha_{12} & & -\alpha_{22} & = & (1+3i) \\
-\alpha_{11} & & 3\alpha_{21} & & = & (1+i) \\
& -\alpha_{12} & & 2\alpha_{22} & = & (-1-3i)
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
& & 2\alpha_{21} & & = & 2 & \Rightarrow & \alpha_{21}=1 \\
& & & \alpha_{22} & = & 0 & \Rightarrow & \alpha_{22}=0 \\
-\alpha_{11} & & 3\alpha_{21} & & = & (1+i) & \Rightarrow & \alpha_{11}=(-2+i)\\
& -\alpha_{12} & & 2\alpha_{22} & = & (-1-3i) & \Rightarrow & \alpha_{12}=(1+3i)
\end{matrix}
[/mm]
Also ist [mm] \varphi^{\*}=\pmat{ (-2+i) & (1+3i) \\ 1 & 0 }
[/mm]
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Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts, aber ich habe drübergeschaut und festgestellt, daß ich es auch so gemacht hätte.
Ich würde jetzt an Deiner Stelle noch die Probe machen und schauen, ob wirklich für alle x,y
[mm] \Phi(\varphi(x),y)= \Phi(x,\varphi*(y))
[/mm]
ist.
Dann kannst Du ziemlich sicher sein, daß es richtig ist.
Gruß v. Angela
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