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| Aufgabe | | Zeige: Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Funktion [mm] $T^\*:V\to [/mm] V$ mit [mm] $=$. [/mm] |
Hallo an alle,
also so wie ich das verstehe, ist die obige Gleichung ja gerade die Definition der adjungierten Abbildung von $T$. Wie soll ich das also zeigen, wenn es so definiert ist?
Wäre sehr dankbar, wenn da mal jemand Licht in mein Dunkel bringen könnte.
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Hallo,
ja, so kann man es in der tat definieren. Niemand sagt aber, dass solch eine Abbildung eindeutig ist. Genau das musst du zeigen.
Beispiel:
Ich definiere die Wurzel aus 1 also die Zahl [mm] z\in\IR, [/mm] für die gilt [mm] z^2=1.
[/mm]
Bingo, da haben wir z=-1 und z=+1. Also mitnichten eindeutig.
Für deinen Beweis nimm also an, dass es zwei solche Abbildungen gibt, die nicht gleich sind. Führe es wie üblich zum Widerspruch.
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Oke, soweit so gut. Aber muss ich zusätzlich zur Eindeutigkeit dann nicht auch die Existenz einer solchen Abbildung [mm] $T^\*$ [/mm] zeigen. Oder setz ich das voraus?
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Hi,
ja die Existenz ist auch zu zeigen. Sorry, wenn das nicht so rüberkam.
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Dachte ich's mir doch:). Dann meine Frage: wie stell ich das an??
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Morgen,
> Dachte ich's mir doch:). Dann meine Frage: wie stell ich
> das an??
Wach dir mal klar, was du erreichen willst. Mal so ein paar Gedanken:
Wir sind hier in endlichdim. Vektorräumen, haben also auf jeden Fall eione Basis, bestenfalls sogar eine ONB.
Das ist der übliche Start. Und jetzt gehts einfach los mit der Konstruktion.
Übrigens ist das nahezu ein Stanardbeweis, der in zahlreichen Skripten, Büchern oder auch einfach im Web zu finden ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Sa 17.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Funktion
> [mm]T^\*:V\to V[/mm] mit [mm]=[/mm].
> Hallo an alle,
> also so wie ich das verstehe, ist die obige Gleichung ja
> gerade die Definition der adjungierten Abbildung von [mm]T[/mm]. Wie
> soll ich das also zeigen, wenn es so definiert ist?
>
> Wäre sehr dankbar, wenn da mal jemand Licht in mein Dunkel
> bringen könnte.
Deine Anfrage ist mehr als schlampig formuliert !
Ich nehme an, dass V ein Vektoraum ist und dass [mm] $V^{\star}$ [/mm] der Dualraum von V ist.
Ist dann T:V [mm] \to [/mm] V linear, so ist mit [mm] $T^{\star}: V^{\star} \to V^{\star}$ [/mm] die agjungierte Abb. gemeint (Du hast [mm] $T^{\star}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ geschrieben).
Mit den Eckigen Klammern ist dann folgendes gemeint:
<x,y>:=y(x) für x [mm] \in [/mm] V und y [mm] \in V^{\star} [/mm] .
V muss nicht endlichdimensional sein, wie Richie meint (auch ist ONB sinnlos, da auf V kein Skalarprodukt definiert)
Oder ist V doch ein Skalarproduktraum und <*,*> das Skalarprodukt ????
Klär uns auf, sonst ist jede Hilfe sinnlos !
FRED
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Ups, sorry hab einfach nur mal die Aufgabe reingeschrieben.
Also V ist endlich dimensionaler K-VR mit [mm] $K=\IC$ [/mm] oder [mm] $K=\IR$. [/mm]
<.,.> definiert ein Skalarprodukt auf V.
Aber [mm] $T^\*:V\to [/mm] V$ passt schon, die Transponierte geht doch von [mm] $V^\*\to V^\*$, [/mm] oder?
Also es existiert auf jeden Fall eine ONB in V.
Dann kann ich doch den Beweis auch über Matrizen führen oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 19.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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