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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 So 09.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Bereichsintegral
A ∫∫ = (1-x)sin(y) dxdy
wenn A das Trapez mit den Eckpunkten (0; 0), (1; 0), (1; 2), (0; 1) ist. |
Es tut mir leid wegen den vielen Fragen, die ich stelle...
Bei dieser Aufgabe fällt mir ersteinmal auf, dass der Dozent die Integrationsschreibweisen vertauscht hat. Da eigentlich zuerst nach y und dann nach x integriert werden müsste, müsste man diese doch umgekehrt aufschreiben, oder nicht?
Wenn man sich das Trapez zeichnet, stellt man fest, dass im Bereich von (0;0) bis (1;1) ja bereits ein Quadrat voll im Trapez drin liegt. Daraus würde ich schließen, dass ich nur noch die Das "Dreieck" das auf diesem Quadrat sitzt integrieren müsste, da der Flächeninhalt des Quadrates mit 1 bekannt sein sollte.
Für die Integralweiten würde ich für y: 1 bis x+1 wählen und für x: 0 bis 1.
Leider verwirren mich die Terme bei den Integrationsvorgängen. Nach der ersten Integration (nach y) würde ich zu folgendem Term kommen:
(1-x)(cos(1)-cos(x+1))
Diesen kann ich auch noch auflösen. Das Problem besteht bei der zweiten Integration:
Wie integriere ich einen Term wie: cos(x+1) bzw. x*cos(x+1) ?
Muss ich da vorher umformen oder mach ich immer einen Gedankenfehler??
Ich bin leider überfragt und fürchte das ich deshalb diese Aufgabe nicht lösen kann. Als Ergebnis soll jedenfalls herauskommen: [mm] \approx [/mm] 0,385
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:15 So 09.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Braucht dir doch nicht Leid tun. Wir helfen doch gerne und dafür sind wir ja auch hier! Wenn niemand fragen würde, gäbe es das Forum wohl auch nicht. ;)
Zur Frage: Zum 1. Teil kann ich leider nichts sagen, aber f(x)=cos(x+1) kannst du mit Substitution oder scharfem Hinsehen integrieren (sin(x+1)).
Und g(x)=x*cos(x+1) kriegst du mir einmal partieller Integration klein, wobei du x ableitest und cos(x+1) integrierst.
Vielleicht bringt dich das ja weiter.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:29 So 09.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnen Sie das Bereichsintegral
>
> A ∫∫ = (1-x)sin(y) dxdy
Bist du dir sicher, dass das so da steht? Und nicht etwa [mm] $\underset{A}{\int \int} [/mm] (1 - x) [mm] \sin(y) \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy$?
> wenn A das Trapez mit den Eckpunkten (0; 0), (1; 0), (1;
> 2), (0; 1) ist.
>
> Bei dieser Aufgabe fällt mir ersteinmal auf, dass der
> Dozent die Integrationsschreibweisen vertauscht hat. Da
> eigentlich zuerst nach y und dann nach x integriert werden
> müsste, müsste man diese doch umgekehrt aufschreiben,
> oder nicht?
Wieso muss zuerst nach $y$ und dann nach $x$ integriert werden? Wie kommst du da drauf? (Offenbar kennst du den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Fubini nicht.)
> Wenn man sich das Trapez zeichnet, stellt man fest, dass im
> Bereich von (0;0) bis (1;1) ja bereits ein Quadrat voll im
> Trapez drin liegt.
Ja.
> Daraus würde ich schließen, dass ich
> nur noch die Das "Dreieck" das auf diesem Quadrat sitzt
> integrieren müsste, da der Flächeninhalt des Quadrates
> mit 1 bekannt sein sollte.
Du sollst aber nicht die Flaeche berechnen, sondern das Integral der Funktion auf dieser Flaeche ausrechnen!
> Für die Integralweiten würde ich für y: 1 bis x+1
> wählen und für x: 0 bis 1.
Wenn tatsaechlich im inneren Integral nach $y$ und im aeusseren nach $x$ integriert wuerde, dann waer das so korrekt. Oben steht das aber anders. Die Frage ist halt, wierum du es machen willst bzw. sollst.
Wenn du das so machen willst wie es in der Aufgabenstellung steht: unterteil es am besten auf zwei Doppelintegrale: erst eins ueber das untere Quadrat, und dann eins ueber das obere Dreieck.
> Wie integriere ich einen Term wie: cos(x+1) bzw. x*cos(x+1)
Den ersten hat dir Teufel ja schon beschrieben. Den zweiten kannst du umschreiben als $(x + 1) * [mm] \cos(x [/mm] + 1) - [mm] \cos(x [/mm] + 1)$. Wenn du also [mm] $\cos(x [/mm] + 1)$ und $(x + 1) [mm] \cos(x [/mm] + 1)$ integrieren kannst, dann auch $x [mm] \cos(x [/mm] + 1)$. Und beides kannst du sofort per Substitution integrieren (oder gleich durch geschicktes Hinsehen).
> Muss ich da vorher umformen oder mach ich immer einen
> Gedankenfehler??
Ob du zum richtigen Term gekommen bist weiss ich nicht, dazu muesstest du die Schritte bis dorthin aufschreiben.
LG Felix
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