Additionstheorem < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 29.10.2010 | | Autor: | ICG |
Nabend, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um eine Walze, die auf einer schiefen Ebene befestigt ist, ich bin schon recht weit gekommen und die Aufgabe auch zeichnerisch schon gelöst, nun versuche ich mich an einer analytischen Lösung.
Meine Frage bezieht sich auf, meine Gleichungen in der Hoffnung, dass ich sie richtig aufgestellt habe und nen Additionstheorem anwendete, habe ich das...
[mm] \cos(\alpha+\beta)=(G*\sin\alpha)/S
[/mm]
ich suche hier das [mm] \beta, [/mm] komme ich an dieses irgendwann ran? Oder geht das nicht, aufgrund des Additionstheorems?
schon mal danke für die Antwort und eine schöne Nacht wünsche ich noch.
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Hallo ICG,
erst die zweite Frage und wieder eine ungewöhnliche. Wo nimmst Du diese Aufgaben her?
Wenn G, S und [mm] \alpha [/mm] prinzipiell bekannt sind, ist [mm] \beta [/mm] natürlich zu ermitteln, sofern überhaupt eine Lösung existiert - oder mehrere.
Ob das analytisch geht, entscheidet sich allerdings auch an den Zusammenhängen...
Dass es aber möglich ist, zeigt die Ersetzung [mm] \theta=\alpha+\beta. [/mm] Du siehst, dass [mm] \theta [/mm] aus den drei o.g. gegebenen Größen zu ermitteln ist, und also auch [mm] \beta=\theta-\alpha. [/mm] Additionstheoreme sind kein hilfreiches Mittel, um diesen Weg zu gehen.
Mehr ist wohl nicht zu sagen, ohne dass Du einen größeren Teil der Aufgabe und Deines Ansatzes bzw. Deiner bisherigen Rechnung preisgibst. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ICG |
Die zweite Frage habe ich dir per PN beantwortet reverend, mußte aber meine Nachricht erst an einem Webmaster schicken und ich weiß nicht, wie schnell die bei dir ankommt...
Also, hier mal einen größeren Auszug aus der Aufgabe, ich wollte eigentlich noch ein Bild hochladen, mit meinen schönen Zeichnungen, aber ich weiß nicht wo und ich habe keine Lust, dass jede andere Heiopei damit sonst noch was anstellt, bin aber für Vorschläge dankbar.
So zu der Aufgabe, also nachdem ich meine Krafkomponenten in X- und Y- Richtung aufgestellt habe, sieht das ganze so aus.
Gegeben:G, S, [mm] \alpha
[/mm]
Gesucht:N, [mm] \beta
[/mm]
X: [mm] S*\cos\beta-N*\sin\alpha=0
[/mm]
Y: [mm] S*\sin\beta+N*\cos\alpha-G=0
[/mm]
erste Gleichung [mm] *\cos\alpha
[/mm]
zweite Gleichung [mm] *\sin\alpha
[/mm]
und dann beide zusammen addiert, dabei fällt das N... weg und das kommt raus.
[mm] S*\cos\alpha*\cos\beta+S\sin\alpha*\sin\beta-G\sin\alpha=0
[/mm]
nun das tolle Addiotionstheorem und ich habe das
[mm] S*\cos(\alpha-\beta)-G*\sin\alpha=0
[/mm]
dies kann ich noch umstellen, aber ich befürchte, dieser Ansatz ist total falsch, weil ich nicht so an das [mm] \beta [/mm] komme odeR?
[mm] \cos(\alpha-\beta)=(G*\sin\alpha)/S
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Sa 30.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die zweite Frage habe ich dir per PN beantwortet reverend,
> mußte aber meine Nachricht erst an einem Webmaster
> schicken und ich weiß nicht, wie schnell die bei dir
> ankommt...
>
> Also, hier mal einen größeren Auszug aus der Aufgabe, ich
> wollte eigentlich noch ein Bild hochladen, mit meinen
> schönen Zeichnungen, aber ich weiß nicht wo und ich habe
> keine Lust, dass jede andere Heiopei damit sonst noch was
> anstellt, bin aber für Vorschläge dankbar.
>
> So zu der Aufgabe, also nachdem ich meine Krafkomponenten
> in X- und Y- Richtung aufgestellt habe, sieht das ganze so
> aus.
> Gegeben:G, S, [mm]\alpha[/mm]
> Gesucht:N, [mm]\beta[/mm]
>
> X: [mm]S*\cos\beta-N*\sin\alpha=0[/mm]
> Y: [mm]S*\sin\beta+N*\cos\alpha-G=0[/mm]
>
> erste Gleichung [mm]*\cos\alpha[/mm]
> zweite Gleichung [mm]*\sin\alpha[/mm]
> und dann beide zusammen addiert, dabei fällt das N... weg
> und das kommt raus.
>
> [mm]S*\cos\alpha*\cos\beta+S\sin\alpha*\sin\beta-G\sin\alpha=0[/mm]
>
> nun das tolle Addiotionstheorem und ich habe das
>
> [mm]S*\cos(\alpha-\beta)-G*\sin\alpha=0[/mm]
>
> dies kann ich noch umstellen, aber ich befürchte, dieser
> Ansatz ist total falsch, weil ich nicht so an das [mm]\beta[/mm]
> komme odeR?
>
> [mm]\cos(\alpha-\beta)=(G*\sin\alpha)/S[/mm]
Vorausgesetzt, die rechte Seite ist betragsmäßig nicht größer als 1 (dann hätte die Gleichung gar keine Lösung), kannst du die Umkehrfunktion des Cosinus, den Arkuscosinus auf beide Seiten anwenden:
[mm]|\alpha-\beta| = \arccos\bruch{G\sin\alpha}{S} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ICG |
Danke Rainer, kurz vor dir bin ich auch auf die Idee gekommen mit arccos und damit lässt es sich auch lösen, leider gibt es für die Aufgabe, 2 Lösungen und nach meinen aufgestellten Gleichungen komme ich damit aber, auf die Lösung die eigentlich für die andere Gleichung bestimmt war...
[mm] \beta=\arccos((G*\sin\alpha)/S-\alpha
[/mm]
[mm] \beta=\arccos((100N*\sin(30)/60N-30
[/mm]
[mm] \beta=-3,5
[/mm]
hier ein Link
http://img152.imageshack.us/img152/8646/59709885.jpg
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Hallo ICG,
das ist der Lösungsweg, den ich von Anfang an vorgeschlagen habe.
Wegen [mm] \cos{(\varphi)}=\cos{(-\varphi)} [/mm] ist doch auch [mm] \beta=3,557° [/mm] eine Lösung. Hilft das weiter?
In Deiner Zeichnung verstehe ich nicht, was die indizierten [mm] \beta [/mm] bezeichnen sollen.
Grüße
reverend
PS: Ach ja, und danke für die Nachricht.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:11 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ICG |
Also in meiner Zeichnung habe ich eben einen kleinen Fehler gefunden S1 & S2 ist beides mal das selbe also eigentlich nur S.
An der grafischen Lösung sieht man, einmal S nach oben weggehen, welches ja die Seilkraft darstellt mit 60N und das dazugehörige N1 und den Winkel [mm] \beta1 [/mm] der sich dann einstellt.
Aber es gibt halt auch eine zweite Lösung und zwar kann das Seil auch nach unten weggehen und es hat dann auch eine Seilkraft von 60N und dazu kommt halt ein anderes N raus, nämlich N2 und der entsprechende Winkel [mm] \beta2 [/mm] dazu.
Ich habe daher auch 4 Gleichgewichtsbedinungen aufn Zettel direkt dadrunter erstellt, wo sich halt in Y-Richtung das S im Vorzeichen ändert.
die linke Seite sieht ja so aus
[mm] S*\cos\beta1-N1\sin\alpha=0
[/mm]
[mm] S*\sin\beta1+N1\cos\alpha-G=0
[/mm]
Wie schon oben mal beschrieben, habe ich die erste Gleichung mit [mm] \cos\alpha [/mm] erweitert und die zweite mit [mm] \sin\alpha.
[/mm]
Daraufhin kann ich die beiden Gleichungen addieren und das N1 fällt weg und ich hab das hier stehen.
[mm] S\cos\alpha\cos\beta+S\sin\alpha\sin\beta-G\sin\alpha=0
[/mm]
darauf wende ich das Additionstheorem an.
[mm] S*cos(\alpha-\beta)-G\sin\alpha=0
[/mm]
nun stelle ich es um
[mm] cos(\alpha-\beta)=(G/S)*\sin\alpha
[/mm]
den arccos drauf anwenden
[mm] \alpha-\beta=arccos*(G/S)*\sin\alpha
[/mm]
nun [mm] \alpha [/mm] rüber bringen und das ganze *-1
[mm] \beta=\alpha-arccos(G/S)*\sin\alpha
[/mm]
somit ist [mm] \beta
[/mm]
[mm] \beta=30-arccos*(100/60)*\sin(30)
[/mm]
[mm] \beta=-3,5
[/mm]
aber genau dieses Ergebnis habe ich aus den zwei rechten Gleichungen erwartet und nicht aus den beiden linken.
Bei den beiden rechten komme ich leider nur auf [mm] \beta=3,5 [/mm] aber da ist auch was verdreht, denn dreht man dort [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] um, komme ich auf die gesuchten 63 von der linken Gleichung...
Tja kein Plan was da schief gelaufen ist, wahrscheinlich hat nun ehh keiner mehr Lust bei den haufen Text mir zu helfen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ICG |
Ich hab die Lösung... hat ja auch nur eine halbe Ewigkeit gedauert...
bei Interesse kann ich es hier mal rein schreiben...
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