Additionssätze, Trigonometrie < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Silicium |
| Aufgabe | Für zwei Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zwischen 90° und 180° gilt: [mm] sin(\alpha)=\bruch{2}{3}\wurzel{2} [/mm] und [mm] cos(\beta)=-\bruch{1}{2}\wurzel{3}. [/mm] Bestimme die Funktionswerte, ohne [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zu berechnen.
a) [mm] cos(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] |
Wie muss ich diese Aufgabe verstehen? Wieso gilt das? Wieso gilt es nur von 90° bis 180°?
Und natürlich das wichtigste: Wie löse ich die Aufgabe? Ich würde gerne selbst darauf kommen, daher bin ich auch für Ansätze sehr dankbar.
Wir haben gerade die 6 Additionssätze kennengelernt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weil sin und cos periodisch sind, also immer wieder den gleichen Wert annehmen sollst du es nur für Winkel zwischen 90° und 180° berechnen.
Schon in der Überschrift, sagst du ja wies geht, den Additionssatz für [mm]cos(\alpha[/mm] - [mm]\beta)[/mm] verwenden. dazu muss man noch verwenden, dass [mm] cos^2\alpha=1-sin^2\alpha [/mm] ist. daraus Wurzel!
kannst dus jetzt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
danke für die Antwort. Um den Additionssatz mit Zahlen zu füllen, muss ich [mm] sin(\alpha) [/mm] in [mm] sin(\beta) [/mm] umrechnen. Entweder bin ich jetzt ganz dumm (erster Tag nach den Ferien), oder stehe ich gerade auf dem Schlauch. Ich kenne zwar die Formel [mm] sin(\alpha)=cos(90°-\alpha), [/mm] aber dazu muss ich ja [mm] \alpha [/mm] kennen, was mir in der Aufgabe ausdrücklich untersagt wird. Wie rechne ich dies um?
Viele Grüße,
Silicium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast [mm] sin\alpha [/mm] und [mm] cos\beta, [/mm] du willst noch [mm] cos\alpha [/mm] und [mm] sin\beta
[/mm]
Dazu hab ich dir geschrieben : [mm] sin^2+cos^2=1
[/mm]
[mm] sin..=\wurzel{1-cos^2..} cos..=\wurzel{1-sin^2..} [/mm] dabei ist .. ein beliebiger Winkel, natürlich links und rechts derselbe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 17.04.2007 | | Autor: | Silicium |
| Aufgabe | b) [mm] cos(2\beta)
[/mm]
c) [mm] tan(2\beta) [/mm] |
Bei zwei Aufgaben konnte ich deine Lösung nun anwenden, denn dank der Formel war es ja wirklich nur Einsetzarbeit - aber bei oben genannten Aufgaben weiß ich nicht, was tun. Möglicherweise reicht es mir, eine davon zu erklären, damit ich auch die andere verstehe.
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Hallo Silicium!
Verwende folgende Additionstheoreme mit [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] \beta$ [/mm] :
[mm] $\cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\alpha)*\sin(\beta)$
[/mm]
[mm] $\tan(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)*\tan(\beta)}$
[/mm]
Daraus kann man dann auch die allgemeingültigen Formeln für doppelte Winkel herleiten:
[mm] $\cos(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(\alpha)-1$
[/mm]
[mm] $\tan(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\cot(\alpha)-\tan(\alpha)}$
[/mm]
Wahrscheinlich musst Du bei der 2. Aufgabe auch noch die Definition [mm] $\tan(\alpha) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ [/mm] verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 17.04.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
danke für die Antwort, ich bin kurz davor, es zu verstehen, allerdings kann ich nicht nachvollziehen, wie man von
$ [mm] \cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)\cdot{}\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot{}\sin(\beta) [/mm] $ auf $ [mm] \cos(2\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 1-2\cdot{}\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\cos^2(\alpha)-1 [/mm] $ kommt.
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Hiho,
du hast ja gegeben:
[mm]\cos(\alpha+\beta) \ = \ \cos(\alpha)\cdot{}\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot{}\sin(\beta)[/mm]
Somit gilt:
[mm]cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \ \cos(\alpha)\cdot{}\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cdot{}\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)[/mm]
Nun wirds knifflig:
[mm]\cos(2\alpha) \ = \ \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) \ = \ (1 - \sin^2(\alpha))- \sin^2(\alpha) \ = \ 1-2\cdot{}\sin^2(\alpha) \ = 1 - 2\cdot{}(1-cos^2(\alpha)) = \ 2\cdot{}\cos^2(\alpha)-1[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 19.04.2007 | | Autor: | Silicium |
Vielen Dank für eure Hilfe
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