Addition abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Abend zusammen,
Zu zeigen:
[mm] $\IR^2$ [/mm] mit Addition bildet eine abelsche Gruppe. |
Also ich fühle mich bei solchen Fragen oft überfordert. Deswegen möchte ich möglichst viele Fragen mit "Beweisen" und "Zeigen" verstehen und abarbeiten. Ich hoffe ich bekomme Unterstützung und Hilfe auf eurer Seite.
Vielen Dank für die Geduld im Voraus!
So jetzt gehts weiter:
Also für all a,b aus [mm] $\IR^2$ [/mm] gilt:
a+b=b+a Kommutativgesetz der Addition
a*b=b*a Kommutativgesetz der Multiplikation, ohne die Null.
Wenn die beiden oben nicht stimmen dann ist es keine abelsche Gruppe.
So und jetzt weiss ich leider nicht wie es weiter geht...
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Hallo,
> Abend zusammen,
>
> Zu zeigen:
> [mm]\IR^2[/mm] mit Addition bildet eine abelsche Gruppe.
> Also ich fühle mich bei solchen Fragen oft überfordert.
> Deswegen möchte ich möglichst viele Fragen mit "Beweisen"
> und "Zeigen" verstehen und abarbeiten. Ich hoffe ich
> bekomme Unterstützung und Hilfe auf eurer Seite.
> Vielen Dank für die Geduld im Voraus!
>
> So jetzt gehts weiter:
> Also für all a,b aus [mm]\IR^2[/mm] gilt:
> a+b=b+a Kommutativgesetz der Addition
Tipp1:
Erst mit den Gruppeneigenschaften anfangen, dann erst die speziellere Eigenschaft "abelsch". (Vom Allgemeinen zum Speziellen)
> a*b=b*a Kommutativgesetz der Multiplikation, ohne die
> Null.
Wieso betrachtest du die Multiplikation?
> Wenn die beiden oben nicht stimmen dann ist es keine
> abelsche Gruppe.
Aber fangen wir mal an.
Grundsätzliche Fragen, die zu anfangs geklärt werden sollten:
- Wie ist die Menge [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] definiert?
- Wie ist die Addition auf dieser Menge definiert?
- Wie ist der Begriff "Gruppe" definiert?
> So und jetzt weiss ich leider nicht wie es weiter geht...
>
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>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo
Tipp1:
> Erst mit den Gruppeneigenschaften anfangen, dann erst die
> speziellere Eigenschaft "abelsch". (Vom Allgemeinen zum
> Speziellen)
> Aber fangen wir mal an.
> Grundsätzliche Fragen, die zu anfangs geklärt werden
> sollten:
> - Wie ist die Menge [mm]\mathbb R^2[/mm] definiert?
Die Menge alle rationalen und irrationalen Zahlen
> - Wie ist die Addition auf dieser Menge definiert?
Abgeschlossen bzgl Addition.
D.h. Assoziativgesetz gilt:
a+(b+c)=(a+b)+c
Kommutativgesetz gilt:
a+b=b+a
> - Wie ist der Begriff "Gruppe" definiert?
Reelle Zahlen bilden mit Addition eine Gruppe , da bei der Addition 2 reellen Zahlen eine reeller Zahl rauskommt.
So und die abelsche Gruppe ist auch eine kommutative Gruppe d.h. a+b=b+a
Aber wie zeige ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 03.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Tipp1:
> > Erst mit den Gruppeneigenschaften anfangen, dann erst
> die
> > speziellere Eigenschaft "abelsch". (Vom Allgemeinen zum
> > Speziellen)
>
> > Aber fangen wir mal an.
> > Grundsätzliche Fragen, die zu anfangs geklärt werden
> > sollten:
> > - Wie ist die Menge [mm]\mathbb R^2[/mm] definiert?
> Die Menge alle rationalen und irrationalen Zahlen
Da bist Du aber auf dem falschen Dampfer !!!!1
[mm] \IR^2=\{(x,y): x,y \in \IR\}
[/mm]
Für $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $(u,v) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist die Addition wie folgt definiert:
$(x,y)+(u,v):=(x+u,y+v)$
FRED
>
> > - Wie ist die Addition auf dieser Menge definiert?
> Abgeschlossen bzgl Addition.
> D.h. Assoziativgesetz gilt:
> a+(b+c)=(a+b)+c
> Kommutativgesetz gilt:
> a+b=b+a
>
> > - Wie ist der Begriff "Gruppe" definiert?
> Reelle Zahlen bilden mit Addition eine Gruppe , da bei der
> Addition 2 reellen Zahlen eine reeller Zahl rauskommt.
>
>
> So und die abelsche Gruppe ist auch eine kommutative Gruppe
> d.h. a+b=b+a
>
> Aber wie zeige ich das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Da bist Du aber auf dem falschen Dampfer !!!!1
>
> [mm]\IR^2=\{(x,y): x,y \in \IR\}[/mm]
>
> Für [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] und [mm](u,v) \in \IR^2[/mm] ist die Addition
> wie folgt definiert:
>
> [mm](x,y)+(u,v):=(x+u,y+v)[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred,
Ich denke das ist völlige Quatsch aber ich schreibe es trotzdem...
(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo Fred,
>
> Ich denke das ist völlige Quatsch aber ich schreibe es
> trotzdem...
>
> (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)
>
Das ist kein Quatsch, sondern, vorausgesetzt Du formulierst es vernuenftig aus, der Beweis, dass die Addition in [mm] $\IR^{2}$ [/mm] abelsch ist. Tu Dir selber einen Gefallen und begruende auch noch kurz, weshalb die Aussage $(x+u,y+v)=(u+x,v+y)$ ueberhaupt gilt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 03.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> > Ich denke das ist völlige Quatsch aber ich schreibe es
> > trotzdem...
> >
> > (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)
> >
> Das ist kein Quatsch, sondern, vorausgesetzt Du formulierst
> es vernuenftig aus, der Beweis, dass die Addition in
> [mm]\IR^{2}[/mm] abelsch ist. Tu Dir selber einen Gefallen und
> begruende auch noch kurz, weshalb die Aussage
> [mm](x+u,y+v)=(u+x,v+y)[/mm] ueberhaupt gilt.
Einfach gesagt... 
Also die Addition in [mm] \IR^{2} [/mm] ist kommutativ und assoziativ, also [mm] $\IR^{2}$ [/mm] ist bezüglich Addition abgeschlossen.
Und in eine abelsche Gruppe müssen Assoziativität- und Kommutativitätgesetze gelten.
D.h [mm] $\IR^{2} [/mm] ist eine abelshe Gruppe.
Wäre das besser?
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Hallo,
> > > Ich denke das ist völlige Quatsch aber ich schreibe es
> > > trotzdem...
> > >
> > > (x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)=(u+x,v+y)=(u,v)+(x,y)
> > >
> > Das ist kein Quatsch, sondern, vorausgesetzt Du formulierst
> > es vernuenftig aus, der Beweis, dass die Addition in
> > [mm]\IR^{2}[/mm] abelsch ist. Tu Dir selber einen Gefallen und
> > begruende auch noch kurz, weshalb die Aussage
> > [mm](x+u,y+v)=(u+x,v+y)[/mm] ueberhaupt gilt.
>
> Einfach gesagt...
> Also die Addition in [mm]\IR^{2}[/mm] ist kommutativ und
> assoziativ, also [mm]\IR^{2}[/mm] ist bezüglich Addition
> abgeschlossen.
> Und in eine abelsche Gruppe müssen Assoziativität- und
> Kommutativitätgesetze gelten.
> D.h [mm]\IR^{2}[/mm] ist eine abelshe Gruppe.
>
> Wäre das besser?
Naja, das mit der Kommutativität (und Assoziativität ganz ähnlich) zeigst du mit dieser (bzw. einer ganz ähnlichen) Umformung ja, aber die Begründung für den Schritt ist doch die, dass du die Addition im [mm] $\IR^2$ [/mm] auf die komponentenweise Addition in [mm] $\IR$ [/mm] zurückführst, von der du weißt, dass sie kommutativ, assoziativ usw. ist. [mm] $\IR$ [/mm] ist ja bekanntermaßen ein Körper ...
Die Addition der Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist ja definiert als reelle Addition in den beiden Komponenten des Vektors; da bewegst du dich in den Komponenten also in [mm] $\IR$. [/mm] Das musst du zur Begründung heranziehen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Danke sehr!!!
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