Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 15.06.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Menge abzählbar ist:
[mm] M:=\left\{\frac{1}{n+1},\frac{n+5}{2}\bigg| n\in\mathbb{N}\right\}. [/mm] |
Soweit ich weiß gilt für eine abzählbare Menge, dass sie gleichmächtig zu [mm] \mathbb{N} [/mm] ist, also [mm] |M|=|\mathbb{N}|. [/mm] Aber wie zeigt man sowas?
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> Zeigen Sie, dass die folgende Menge abzählbar ist:
> [mm]M:=\{\frac{1}{n+1},\frac{n+5}{2}\bigg| n\in\mathbb{N}\}.[/mm]
Ist dies korrekt geschrieben ?
Falls die Elemente von M Zahlenpaare sein sollen,
fehlen Klammern. Falls es sich um Zahlen handelt,
müsste statt des Kommas wohl ein Multiplikations-
punkt stehen.
Edit: Dies war wohl ein Irrtum. Siehe meine spätere
Mitteilung sowie die Antwort von fred97 !
> Soweit ich weiß gilt für eine abzählbare Menge, dass sie
> gleichmächtig zu [mm]\mathbb{N}[/mm] ist, also [mm]|M|=|\mathbb{N}|.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig.
> Aber wie zeigt man sowas?
Man kann versuchen, eine bijektive Abbildung von
[mm] \IN [/mm] nach M zu definieren.
Falls dies nicht gehen sollte: zwei Teilbeweise:
a) [mm] |M|\le|\IN| [/mm]
b) [mm] |\IN|\le|M|
[/mm]
Für a kann man entweder zeigen, dass es eine
injektive Abbildung von M nach [mm] \IN [/mm] gibt oder aber
eine surjektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach M .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Mo 15.06.2009 | | Autor: | notinX |
> Ist dies korrekt geschrieben ?
>
> Falls die Elemente von M Zahlenpaare sein sollen,
> fehlen Klammern. Falls es sich um Zahlen handelt,
> müsste statt des Kommas wohl ein Multiplikations-
> punkt stehen.
Genau so steht es auf meinem Aufgabenblatt, ich habe mich allerdings auch schon gefragt was das bedeuten soll...
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> > Ist dies korrekt geschrieben ?
> >
> > Falls die Elemente von M Zahlenpaare sein sollen,
> > fehlen Klammern. Falls es sich um Zahlen handelt,
> > müsste statt des Kommas wohl ein Multiplikations-
> > punkt stehen.
> Genau so steht es auf meinem Aufgabenblatt, ich habe mich
> allerdings auch schon gefragt was das bedeuten soll...
Man könnte es wohl noch so interpretieren, dass M
alle Brüche der beiden Formen enthält.
Nimm mal diese Interpretation und frage eventuell
mal noch nach, ob dies so gemeint war...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wahrscheinlich ist das gemeint:
M = { [mm] \bruch{1}{n+1}: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] \bruch{n+5}{2}: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] }
Definiere [mm] f:\IN \to [/mm] M wie folgt:
$f(2n) = [mm] \bruch{1}{n+1}, [/mm] f(2n-1) = [mm] \bruch{n+5}{2}$
[/mm]
Dann ist f bijektiv
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 16.06.2009 | | Autor: | notinX |
Ich nehme mal an, ich muss die Bijektivität nachweisen. Dazu muss ich Injektivität und Surjektivität zeigen. Leider habe ich auch hier keine Ahnung wie das funktionieren soll. Ich weiß nur, dass für
-Injektivität: f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y [mm] \quadd x,y\in\mathbb{N}
[/mm]
-Surjektivität: [mm] f(\mathbb{N})=M
[/mm]
gelten muss (ich hoffe mal, das stimmt)
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Hallo,
eigentlich musst du gar nich so viel für die Abzählbarkeit zeigen, falls du weißt dass eine Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist. Da M = { [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] \bruch{n+5}{2} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] }. Diese beiden Mengen, die M beschreibt, sind sicher Teilmengen von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar, denn der Zähler besteht aus einer ganzen Zahl (naja, und ganze Zahlen sind definiert als [mm] \IN \cup -\IN [/mm] ist) und der Nenner aus einer natürlichen Zahl. Das einzige worauf man jetz noch achten muss, is zu zeigen, dass [mm] |M|=\infty [/mm] , was trivial, ist denn { [mm] \bruch{n+5}{2} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } ist nach oben unbeschränkt.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich nehme mal an, ich muss die Bijektivität nachweisen.
> Dazu muss ich Injektivität und Surjektivität zeigen. Leider
> habe ich auch hier keine Ahnung wie das funktionieren soll.
> Ich weiß nur, dass für
> -Injektivität: f(x)=f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x=y [mm]\quadd x,y\in\mathbb{N}[/mm]
>
> -Surjektivität: [mm]f(\mathbb{N})=M[/mm]
> gelten muss (ich hoffe mal, das stimmt)
Es stimmt
Dass die von mir anggegebene Abbildung f surjektiv ist sieht man auf einen Blick
Injektivität:
Seien n,m [mm] \in \IN [/mm] und f(n) = f(m).
Wegen f(2k)<1<f(2j-1) für jedes k,j [mm] \in \IN, [/mm] können nur 2 Fälle eintreten:
Fall 1: n=2k, m=2j.
Aus f(n) = f(m) folgt dann: [mm] \bruch{1}{k+1}=\bruch{1}{j+1}. [/mm] Somit folgt k=j und daraus n = m.
Fall 2: n=2k-1, m=2j-1.
Aus f(n) = f(m) folgt dann: [mm] \bruch{k+5}{2}=\bruch{j+5}{2}. [/mm] Somit folgt k=j und daraus n = m.
FRED
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