Abstandsberechnung (Ebenen) < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel sind, Berechnen Sie Ihren Abstand.
E: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 3 \\ 5 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s\pmat{ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm]
F: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 3 \\ 7} [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] s\pmat{ 2 \\ 5 \\ 6} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Gegeben sind die Ebenen E: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{3} [/mm] = 0 und die Punkte A (0|2|0) und B (5|-1|-2).
a) Zeigen Sie, dass die gerade A und B paralel zu E ist.
b) Bestimmen Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch A und B zur Ebene E. |
Ho, ich weiß ist relativ viel, war aber die letzen Wochen krank und kann das daher nicht. Die Aufgaben sollen wohl mit Hilfe von Formeln, in denen die Hessesche Normalenform eine Rolle spielt gelöst werden können. Wenn möglich einigermaßen ausführlich beschreiben was zu tun ist und wie der Rechenweg lautet. Ihr helft mir auch schon sehr, wenn ihr nur eine Teilaufgabe löst.
Gruß
Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Disap |
Moin Mazemaniac, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel
> sind, Berechnen Sie Ihren Abstand.
>
> E: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 3 \\ 5 }[/mm] + r [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]s\pmat{ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> F: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 3 \\ 7}[/mm] + r [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> + [mm]s\pmat{ 2 \\ 5 \\ 6}[/mm]
Dass Ebenen zueinander parallel sind, kannst du zeigen, indem du von der Ebene E und Ebene F den Normalenvektor mit Hilfe des Vektor- oder Kreuzprodukts bildest. Ist der Normalenvektor [mm] n_E [/mm] nun linear abhängig von [mm] n_F, [/mm] so sind die Ebenen parallel.
Wenn die die Ebene E zur Ebene F parallel ist, dann spielt es keine Rolle, welchen Punkt der Ebene E du nimmst, um den Abstand zur Ebene F zu bestimmen.
Das Problem lässt sich auf das Kochrezept: Abstand Punkt - Ebene (Hessesche Normalenform) zurückführen. Als Punkt nimmst du z. B. den Ortsvektor der Ebene E. (Darfst natürlich auch den der Ebene F nehmen)
> Gegeben sind die Ebenen E: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]2x_{3}[/mm] = 0
> und die Punkte A (0|2|0) und B (5|-1|-2).
> a) Zeigen Sie, dass die gerade A und B paralel zu E ist.
Hier musst du die Geradengleichung aufstellen
[mm] $g:\vec{x}=\overline{0A}+\lambda \overline{AB}$
[/mm]
Der Normalenvektor [mm] n_L [/mm] (so nenne ich ihn einfach mal für die Aufgabe) der Ebene muss den Richtungsvektor [mm] \vec{u} [/mm] der Geraden senkrecht schneiden. Das zeigst du mit Hilfe des Skalarprodukts, es muss gelten:
[mm] $\vec{n_L}\cdot \vec{u} [/mm] = 0$
> b) Bestimmen Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch
> A und B zur Ebene E.
Dann nimmst du auch einfach wieder einen Punkt der Geraden (z. B. den Ortsvektor - den kann man ja leicht ablesen) und berechnest den Abstand zur Ebene [mm] \Rightarrow [/mm] Abstand Punkt - Ebene.
Du könntest auch einen beliebigen Punkt der Ebene nehmen und dann den Abstand des Punktes zur Geraden berechnen: Problem - Abstand Punkt-Gerade.
> Ho, ich weiß ist relativ viel, war aber die letzen Wochen
> krank und kann das daher nicht. Die Aufgaben sollen wohl
Ich hoffe, du bist nun wieder gesund.
> mit Hilfe von Formeln, in denen die Hessesche Normalenform
> eine Rolle spielt gelöst werden können. Wenn möglich
> einigermaßen ausführlich beschreiben was zu tun ist und wie
> der Rechenweg lautet. Ihr helft mir auch schon sehr, wenn
> ihr nur eine Teilaufgabe löst.
Falls etwas unklar geblieben ist, kannst du gerne noch einmal nachfragen. Nachrechnen tu ich es gerne, aber vorrechnen eher nicht.
> Gruß
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> Matze
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Disap
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