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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 07.10.2006 | | Autor: | success |
Hey,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe: ![[]](/images/popup.gif) http://www.math-abi.de/LkGeo/aufglg1.htm
Allerdings habe ich bei Aufgabe 3d) Probleme. Auch die dort angegebene Lösung (siehe die Links oben auf der Seite) kann ich nicht nachvollziehen.
Ich soll ja s so bestimmen, dass der Punkt S(s/-s/s) von allen vier Seiten der Pyramide (s. Zeichnung: http://www.math-abi.de/LkGeo/lsglg1.htm) den gleichen Abstand hat und, dass S innerhalb der Pyramide liegt.
Drei Seiten der Pyramide sind die Koordinatenebenen, die dritte Seite ist die Ebene E (2x1-2x2+x3-12=0).
Mein Versuch die angegebene Lösung nachzuvollziehen: Welchen Abstand der Punkt von den Ebenen hat ist eigentlich egal, so lange S in der Pyramide liegen kann, also nimmt man der Einfachheit halber 1. Um einen Punkt zu bestimmen, der von E den Abstand 1 hat, wählt man die Hessesche Normalenform, setzt den Punkt ein, löst auf. Habe ich das soweit richtig verstanden? (Ich glaube eher nicht...)
Aber wenn dies so wäre, warum hat S mit s=2/3 (also S(2/3;-2/3/2/3)) auch den gleichen Abstand von den Koordinatenebenen? Denn der Abstand zu den Koordinatenebenen ist ja jetzt 2/3 und nicht 1? Also ich komme da nicht so ganz hinter.
Ich wäre dankbar, wenn mir das jemand erklären würde. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Fulla |
hi success!
wie in der lösungsskizze erwähnt, schauen wir mal, welchen abstand der punkt (s,-s,s) von den koordinatenebenen hat... das ist s.
(das heißt, egal was wir für s einsetzen, der punkt hat von den koordinatenebenen immer den gleichen abstand)
so jetzt zu der ebene [mm] 2x_1-2x_2+x_3-12=0
[/mm]
der normalenvektor ist [mm] \vektor{2\\-2\\1} [/mm] und sein betrag ist [mm] \wurzel{9}=3
[/mm]
wie müssen die ebenengleichung also durch 3 teilen um die HNF zu erhalten:
[mm] \bruch{2}{3}x_1-\bruch{2}{3}x_3+\bruch{1}{3}x_3-4=0
[/mm]
wenn man jetzt einen beliebigen punkt in die gleichung einsetzt, erhält man den abstand zwischen punkt und ebene - wir setzen (s,-s,s) ein:
[mm] \bruch{2}{3}s+\bruch{2}{3}s+\bruch{1}{3}s-4=\bruch{5}{3}s-4
[/mm]
dieser abstand muss gleich dem abstand von (s,-s,s) von den koordinatenebenen sein. aber vorsicht: von [mm] \bruch{5}{3}s-4 [/mm] muss man den betrag nehmen. das liegt an der HNF: wenn man die ebenengleichung mit -1 mutipliziert, ist immer noch alles korrekt, aber der betrag ändert sein vorzeichen.
der betrag muss immer positiv sein. aber anhand von [mm] \bruch{5}{3}s-4 [/mm] kann man das nicht so einfach sagen, es hängt von der wahl von s ab.
--> also betragsstriche drum!
[mm] \left|\bruch{5}{3}s-4\right|=s
[/mm]
--> [mm] \bruch{5}{3}s-4=s\quad \gdw [/mm] $s=6$ oder
[mm] -\bruch{5}{3}s+4=s\quad \gdw s=\bruch{3}{2}
[/mm]
welches s jetzt das richtige ist, kannst du dir auf verschiedene weise überlegen... z.b. so:
der nullpunkt hat von der ebene den abstand 4 [(0,0,0) einsetzen]. $s=6$ kann es also nicht sein, weil der punkt dann außerhalb der pyramide liegt.
ich hoffe du hast verstanden, was ich meine (auch wenn ich mich vielleicht ein bisschen umständlich ausgedrückt hab  )
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 07.10.2006 | | Autor: | success |
Hey, vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Rechnerisch verstehe ich jetzt alles, aber logisch noch nicht so ganz:
Der Punkt S(s/-s/s) wird in die Hesseform eingesetzt, dadurch bekomme ich den Abstand zwischen S und E. Aber S ist ja nur durch Variablen gegeben (klar, muss ja so sein, weil ich ihn bestimmen will) - wie kann ich also von einem quasi nicht festgelegten Punkt den Abstand bestimmen? Ich hoffe du verstehst mein Problem...
Edit: Ich stelle mir das ganze irgendwie umgekehrt vor: Müsste ich nicht einen Punkt suchen, der von E den Abstand s hat, anstatt den Abstand von S zu P zu suchen? Ach verdammt... irgendwie bekomme ich da keine Logik rein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Fulla |
hi nochmal!
du meinst zum beispiel wenn der punkt (s,-s,s) nicht gegeben wäre?
dann würdest du genauso vorgehen:
der punkt wäre dann (a,b,c) und du ermittelst den abstand von allen vier seiten der pyramide und setzt das dann gleich...
wenn du, wie du sagst, eine punkt "suchen" willst, musst du auch einen punkt wie (a,b,c) nehmen und die variablen a, b und c bestimmen (zum beispiel über den abstand...)
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