Abstand zweier windschiefer G < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 15.03.2007 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | | Wie groß ist der kleinste Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden? |
Hallo,
ihc habe mir in letzter Zeit mal die Frage gestellt, dass wenn sich zwei zueinander windschiefe Geraden nicht schneiden, ist ja klar, dann haben sie ja an einer Stelle einen Abstand, der kleiner ist, als an allen anderen Stellen.
Wie genau kann man diesen berechnen?
Hier mein Ansatz:
Kleinster Abstand zweier windschiefer Geraden ist da, wo sie ein gemeinsames Lot haben, also wo man sie mit einer Strecke verbinden kann, die auf beiden Geraden senkrecht steht.
Gerade g: [mm] \vec{x}=\vec{a}+s\vec{u}
[/mm]
Gerade h: [mm] \vec{x}=\vec{b}+t\vec{v}
[/mm]
Der Abstand der Abstand von Punkt P und Q, auf die das gemeinsame Lot aufkommen.
Der Differenzvektor [mm] \vec{d}:=\overrightarrow{PQ}=\vec{q}-\vec{p}=\vec{a}-\vec{b}+s\vec{u}-t\vec{v}
[/mm]
Nebenbedingungen: [mm] \vec{d}\vec{u}=0 [/mm]
[mm] \vec{d}\vec{v}=0
[/mm]
Ich habe die Zeile des Differenzvektors einmal mit [mm] \vec{u} [/mm] und die gleiche Zeile (ohne die Multiplikation) mit [mm] \vec{v} [/mm] multipliziert, so dass ich zwei Zeilen bekomme, mit denen ich eigentlich s und t ausrechnen könnte.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Danke schon mal im Vorraus.
Stefan
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Hallo Stefan!
Die, wie ich finde, am einfachsten nachzuvollziehende Methode, den Abstand zweier windscheifer Geraden zu berechen, ist folgende:
1. Konstruiere dir eine Hilfseben E aus den Geraden g und h (setze z.b. den Richtungsvektor von g einfach an die Geradengleichung von h an). Die entstandene Ebene enthält dann eine der beiden Geraden und verläuft gleichzeitig parallel zur anderen Geraden.
2. Bestimme den Abstand eines Punktes der parallel verlaufenden Geraden zur Ebene E (Ebene dazu in die Hess'sche Normalenform umformen und den Stützvektor der parallelen Geraden einsetzen). Der berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden windschiefen Geraden.
Gruß,
Tommy
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