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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:04 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Debby |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P (9/0/0), Q (0/0/9), R (1/8/4), T(12/0/0), U (3/4/4) und V (4/4/3).
a) Bestimme ien Gleichung der Schnittgeraden s von E1 =(PQR) und E2 =(TUV)
b) Zeige, dass die Geraden s und h=(QT) windschief sind und berechne ihren Abstand. |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
zuerst habe ich die Koordinatenform der beiden Ebenen aufgestellt und bin für
E1 auf 2x1+x2+2x3=18 und für
E2 auf 4x1+5x2+4x3=48 gekommen.
Danach habe ich um die Schnittgeraden auszurechnen x2 aus dem LGS bestehend aus E1 und E2 herausgekürzt und bin auf
x1+x2=7
4x1+5x2+4x3=42 gekommen.
setze: x3=t daraus ergibt sich dann x1=7-t und x2=4
die Schnittgeraden ist also [mm] s:\overrightarrow{x}=\vektor{7 \\ 4 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Soweit war ja alles noch ganz einfach und ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe...
bei der Teilaufgabe b komme ich jetzt nicht weiter.
[mm] h:\overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 9} [/mm] + z [mm] \vektor{12 \\ 0 \\ -9}
[/mm]
der vektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] muss sowohl zu g als auch zu h orthogonal sein.
daher müsste gelten:
12n1-9n3= 0 und n1-n3=0 nun entweder n1 oder n3 frei wählen, sodass beide Gleichungen eine wahre Aussage ergeben. Aber das geht nicht.
Kann mir bitte jemand erklären, wie man dieses Problem noch auf eine andere Art und Weiße lösen kann???
Vielen Dank!
Lg aus den Tropen
Debby
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> Gegeben sind die Punkte P (9/0/0), Q (0/0/9), R (1/8/4),
> T(12/0/0), U (3/4/4) und V (4/4/3).
> a) Bestimme ien Gleichung der Schnittgeraden s von E1
> =(PQR) und E2 =(TUV)
> b) Zeige, dass die Geraden s und h=(QT) windschief sind
> und berechne ihren Abstand.
> Hallo!
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
>
> zuerst habe ich die Koordinatenform der beiden Ebenen
> aufgestellt und bin für
> E1 auf 2x1+x2+2x3=18 und für
> E2 auf 4x1+5x2+4x3=48 gekommen.
>
> Danach habe ich um die Schnittgeraden auszurechnen x2 aus
> dem LGS bestehend aus E1 und E2 herausgekürzt und bin auf
>
> x1+x2=7
> 4x1+5x2+4x3=42 gekommen.
>
> setze: x3=t daraus ergibt sich dann x1=7-t und x2=4
>
> die Schnittgeraden ist also [mm]s:\overrightarrow{x}=\vektor{7 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> + t [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> Soweit war ja alles noch ganz einfach und ich hoffe, dass
> ich mich nicht verrechnet habe...
Hallo,
auch wenn ich nicht verstehe, was Du beim GS mit [mm] "x_2 [/mm] herauskürzen" meinst, die errechnete Schittgerade paßt.
>
> bei der Teilaufgabe b komme ich jetzt nicht weiter.
>
> [mm]h:\overrightarrow{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 9}[/mm] + z [mm]\vektor{12 \\ 0 \\ -9}[/mm]
>
>
> der vektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] muss sowohl zu g als auch zu
> h orthogonal sein.
> daher müsste gelten:
> 12n1-9n3= 0 und n1-n3=0 nun entweder n1 oder n3 frei
> wählen, sodass beide Gleichungen eine wahre Aussage
> ergeben. Aber das geht nicht.
> Kann mir bitte jemand erklären, wie man dieses Problem noch
> auf eine andere Art und Weiße lösen kann???
Du suchst nun einen gemeinsamen Normaleneinheitsvektor der beiden Geraden.
Dafür hast Du mehrere Möglichkeiten:
1. Deine
2. Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
3. Draufgucken.
Ich zeige Dir zunächst, wie Du das hier per Draufgucken sehen kannst.
Die beiden Richtungsvektoren sind [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{12 \\ 0 \\ -9}.
[/mm]
Sie liegen in der xz-Ebene, und damit ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein Normaleneinheitsvektor der Geraden.
Das Kreuzprodukt lasse ich außen vor, weil ich nicht weiß, ob das bereits eingeführt wurde.
Nun zu Deinem Weg, zur Lösung des Gleichungssystems
[mm] 12n_1-9n_3= [/mm] 0
[mm] n_1-n_3=0 [/mm]
Du kannst hier zwar die Variable [mm] x_2 [/mm] beliebig wählen, sie taucht ja im System gar nicht mehr auf.
Die andern beiden sind jedoch nicht frei wählbar.
Es ist [mm] n_1=n_3,
[/mm]
somit [mm] 0=12n_1-9n_1=3n_1 [/mm] ==> [mm] n_1=0 [/mm] und folglich auch [mm] n_3=0.
[/mm]
Wählst Du nun [mm] n_2=1, [/mm] so hast Du sofort den Einheitsvektor, ansonsten mußt Du eben noch normieren, was ja auch kein echtes Problem wäre.
> Lg aus den Tropen
> Debby
Gruß v. Angela mit vor Kälte klammen Fingern.
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