Abstand zwei Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nachmittag
Ich habe hier ein Thread gesehen wozu ich Unklarheiten habe. Da ich nicht einfach in das Thread reinposten will, eröffnete ich ein neues.
Der Abstand ist gesucht von:
g: [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ -4 } [/mm] + u * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }
[/mm]
p: g: [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ -1 } [/mm] + u * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }
[/mm]
Nun in Koordinatenform:
g: -2x-3y+4z = -33
h: -2x-3y+4z = -33
d= [mm] \bruch{-33-(-33)}{\wurzel{2^{2} + 3^{2} + 4^{2}}}
[/mm]
Das geht natürlich nicht wirklich. Deshalb meine Frage: Gilt dieses Löseungsverfahren nur für zwei nicht parallele Geraden?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker!
> Der Abstand ist gesucht von:
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> g: [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ -4 }[/mm] + u * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }[/mm]
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> p: g: [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ -1 }[/mm] + u * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }[/mm]
>
> Nun in Koordinatenform:
>
> g: -2x-3y+4z = -33
> h: -2x-3y+4z = -33
Achtung! Was du hier machst, ist eine Gerade in eine Ebene umzuwandeln! Von einer Gerade kannst du keine Koordinatenform erstellen. Die beiden Ebenen, die jetzt da oben stehen, stehen genau senkrecht zu den jeweiligen Geraden.
Das folgende Verfahren, was du dann anwendest, macht daher eher wenig Sinn.
Du kannst zum Beispiel so vorgehen:
Du nimmst eine der beiden Geraden und erzeugst, wie du es oben gemacht hast, eine dazu orthogonale Ebene in Koordinatenform (Wichtig: auch den Ortsvektor derselben Geraden nehmen). Dann nimmst du die andere Gerade und setzt sie in die Koordinatengleichung ein, heraus kommt ein bestimmtes u.
Koordinatengleichung: $-2x-3y+4z = -33$
Gerade: $g: [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ -1 }+ u*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 } [/mm] = [mm] \vektor{4-2*u\\7-3*u\\-1+4*u} [/mm] = [mm] \vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
Nun die x-, y-, bzw. z- Werte in die Koordinatengleichung einsetzen, es entsteht eine lineare Gleichung für u.
Mit dem u wird durch diese andere Gerade natürlich ein bestimmter Punkt A festgelegt. Der Abstand zwischen A und dem Ortsvektor der ersten Geraden ist dann auch der Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden.
Probier's!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker!
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> > Der Abstand ist gesucht von:
> >
> > g: [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ -4 }[/mm] + u * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }[/mm]
>
> >
> > p: g: [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ -1 }[/mm] + u * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 }[/mm]
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> >
>
> > Nun in Koordinatenform:
> >
> > g: -2x-3y+4z = -33
> > h: -2x-3y+4z = -33
>
> Achtung! Was du hier machst, ist eine Gerade in eine Ebene
> umzuwandeln! Von einer Gerade kannst du keine
> Koordinatenform erstellen. Die beiden Ebenen, die jetzt da
> oben stehen, stehen genau senkrecht zu den jeweiligen
> Geraden.
>
> Das folgende Verfahren, was du dann anwendest, macht daher
> eher wenig Sinn.
>
> Du kannst zum Beispiel so vorgehen:
> Du nimmst eine der beiden Geraden und erzeugst, wie du es
> oben gemacht hast, eine dazu orthogonale Ebene in
> Koordinatenform (Wichtig: auch den Ortsvektor derselben
> Geraden nehmen). Dann nimmst du die andere Gerade und setzt
> sie in die Koordinatengleichung ein, heraus kommt ein
> bestimmtes u.
>
> Koordinatengleichung: [mm]-2x-3y+4z = -33[/mm]
> Gerade: [mm]g: \vektor{4 \\ 7 \\ -1 }+ u*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4 } = \vektor{4-2*u\\7-3*u\\-1+4*u} = \vektor{x\\y\\z}[/mm]
>
> Nun die x-, y-, bzw. z- Werte in die Koordinatengleichung
> einsetzen, es entsteht eine lineare Gleichung für u.
>
> Mit dem u wird durch diese andere Gerade natürlich ein
> bestimmter Punkt A festgelegt. Der Abstand zwischen A und
> dem Ortsvektor der ersten Geraden ist dann auch der Abstand
> zwischen den beiden parallelen Geraden.
>
> Probier's!
>
> Grüße,
> Stefan
-2*(4 -2u) - 3 *(3-3u) + 4*(-4 + 4u) = -33
29u = 0
u = 0 Komisch....
Punkt A (4/3/-4)
Sorry ich komme nicht mehr nach
Danke
gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> -2*(4 -2u) - 3 *(3-3u) + 4*(-4 + 4u) = -33
> 29u = 0
> u = 0 Komisch....
Alles richtig bis hierher! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Punkt A (4/3/-4)
Genau, der Punkt A(4/3/-4) ist der Punkte, der der zweiten Geraden [mm] $h:\vec{x}=\vektor{4\\7\\-1}+u*\vektor{-2\\-3\\4}$ [/mm] am nächsten liegt. Da die orthogonale Ebene mit dem Ortsvektor der Geraden h, [mm] \vektor{4\\7\\-1}, [/mm] erzeugt wurde, ist der Abstand zwischen den beiden Geraden deswegen gerade der Abstand zwischen [mm] \vektor{4\\7\\-1} [/mm] und A(4/3/-4). Rechne ihn aus!
Was dich vielleicht verwirrt hat, war, dass hier gerade ein Spezialfall vorliegt. Das Problem beim Abstandsberechnen zwischen zwei parallelen Geraden ist ja, dass man zwei Punkte finden muss, auf jeder Geraden einer, die den kürzesten Abstand zueinander haben, also wirklich den Abstand zwischen den beiden Geraden "verkörpern". Hier war ein mögliches Paar dieser Punkte zufällig die eigentlich schon gegebenen Ortsvektoren der beiden Geraden.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Ich habe noch eine weitere Frage zu diesem beispiel.
Soviel ich weiss, kann man ja zwei Geraden auch mit einer Ebenengleichung darstellen.
Doch wie geht das? (Bezogen auf dieses Beispiel?)
Ich las folgendes: Den Stützvektor einer Geraden + den Richtungsvektor und einen zweiten Richtungsvektor über die beiden Stützvektoren bestimmen!
Den zweiten Teil: "Einen zweiten Richtungsvektor über die beiden Stützvektoren ". Kann mir das jemand erklären? Am Besten gerade auf das Beispiel bezogen.
Danke
Gruss Dinker
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Hallo!
> Ich habe noch eine weitere Frage zu diesem beispiel.
>
> Soviel ich weiss, kann man ja zwei Geraden auch mit einer
> Ebenengleichung darstellen.
Naja, worauf du im Folgenden eher hinaus willst, ist aus zwei (parallen) Geraden eine Ebene zu machen, in der eben beide Geraden liegen. Wenn man nicht weiß, wie diese Ebene zustande gekommen ist, kann man auch keine Rückschlüsse mehr auf die beiden Geradengleichungen machen.
> Ich las folgendes: Den Stützvektor einer Geraden + den
> Richtungsvektor und einen zweiten Richtungsvektor über die
> beiden Stützvektoren bestimmen!
>
> Den zweiten Teil: "Einen zweiten Richtungsvektor über die
> beiden Stützvektoren ". Kann mir das jemand erklären? Am
> Besten gerade auf das Beispiel bezogen.
Das ist gewissermaßen einfach eine Anleitung, wie du zu einer Ebenengleichung in Parameterform kommst, die aus zwei (parallelen) Geraden entsteht.
Dazu nimmst du einfach den Ortsvektor einer Geraden, dann als ersten Spannvektor der Ebene den Richtungsvektor derselben Geraden, und den zweiten Richtungsvektor erhältst du "über die beiden Stützvektoren ", d.h. du sollst einen Richtungsvektor aus den beiden Stützvektoren (Ortsvektoren) der Geraden basteln (Richtungsvektor = Ortsvektor1-Ortsvektor2).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 06.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke für die Antwort.
Deine Anleitugn verstehe ich wie folgt:
g: [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 8 } [/mm] + u [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
p: [mm] \vektor{5 \\ 7 \\ 8 } [/mm] + u [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
E: [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 8 } [/mm] + u [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1 } [/mm] + [mm] s\vektor{-3 \\ -3 \\ 0} [/mm] ?
Danke
gruss Dinker
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> Hallo
>
> Danke für die Antwort.
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> Deine Anleitugn verstehe ich wie folgt:
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> g: [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 8 }[/mm] + u [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
> p:
> [mm]\vektor{5 \\ 7 \\ 8 }[/mm] + u [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> E: [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 8 }[/mm] + u [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1 }[/mm] +
> [mm]s\vektor{-3 \\ -3 \\ 0}[/mm] ?
Hallo,
das ist die Ebene, in der Deine beiden Geraden liegen.
Gruß v. Angela
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
