Abstand pararellen Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Marc_hb |
Hallo,
ich komme leider mit der folgendne Aufgabe nicht zurecht und zwar soll ich den Abstand zweier Geraden bestimmen, doe pararell sind.
[mm] g(x)=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ [/mm] r * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
[mm] h(x)=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ [/mm] r * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
Also ich mich ja eine Senkrechte zu eine der beiden bilden, die die andere schneidet.
Die Senkrechte hab ich so versucht zu bilden, in dem das Skalarpordukt aus dem Richtungsvektor von g mit dem Vektor= [mm] \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} [/mm] verswucht habe zu bilden.
[mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}*\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}=0
[/mm]
Aber leider kommen bleiebn die Variablen [mm] n_{1}, n_{2} [/mm] und [mm] n_{3} [/mm] allesamt bestehen in der Gleichung: [mm] -2n_{1}- 3n_{2} +4n_{3}, [/mm] so dass ich dann nicht wieter rechnen kann.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei meinem Problem weiterhelfen könnte.
Gruß, Marc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marc_hb,
> Hallo,
>
> ich komme leider mit der folgendne Aufgabe nicht zurecht
> und zwar soll ich den Abstand zweier Geraden bestimmen, doe
> pararell sind.
>
> [mm]g(x)=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
[mm]g: \overrightarrow{x}=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ r * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
> [mm]h(x)=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
Wähle hier einen anderen Parameter:
[mm]h: \overrightarrow{x}=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ s * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> Also ich mich ja eine Senkrechte zu eine der beiden bilden,
> die die andere schneidet.
> Die Senkrechte hab ich so versucht zu bilden, in dem das
> Skalarpordukt aus dem Richtungsvektor von g mit dem Vektor=
> [mm]\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}[/mm] verswucht habe zu bilden.
>
> [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}*\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}=0[/mm]
>
> Aber leider kommen bleiebn die Variablen [mm]n_{1}, n_{2}[/mm] und
> [mm]n_{3}[/mm] allesamt bestehen in der Gleichung: [mm]-2n_{1}- 3n_{2} +4n_{3},[/mm]
> so dass ich dann nicht wieter rechnen kann.
Was Du weisst ist, daß der Differenzvektor g-h senkrecht auf dem Richtungsvektor [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4[/mm] stehen muss.
Daraus ergibt sich dann die Bedingungsgleichung die erfüllt sein muß:
[mm]\left( \ \vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ r * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}-\left( \ \vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ s * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \right) \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
[mm]\gdw \left( \vektor{4 \\ 3 \\ -4} - \vektor{4 \\ 7 \\ -1} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
Daraus kannst Du jetzt den Wert von r-s berechnen.
Setze dann diesen Wert in den Differenzvektor
[mm]\overrightarrow{d}=\vektor{4 \\ 3 \\ -4} - \vektor{4 \\ 7 \\ -1} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
ein, und bilde den Betrag davon.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei meinem
> Problem weiterhelfen könnte.
>
> Gruß, Marc
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 06.09.2009 | | Autor: | Marc_hb |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe!
> Daraus ergibt sich dann die Bedingungsgleichung die
> erfüllt sein muß:
>
> [mm]\left( \ \vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ r * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}-\left( \ \vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ s * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \right) \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \left( \vektor{4 \\ 3 \\ -4} - \vektor{4 \\ 7 \\ -1} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
>
> Daraus kannst Du jetzt den Wert von r-s berechnen.
Diesen Schritt konnt ich leider nicht rechnerisch lösen.
Also ich hab das zunächst mit dem Aditionsverfahren versucht, aber das macht ja kein Sinn, da beim Addieren alle Variablen verschwinden.
Die zweite Möglichkeit die ich versucht habe ist folgende:
[mm]\gdw \left( \vektor{0 \\ -4 \\ -3} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
Dann hab ich die KLammer ausmulizipliziert:
[mm] \gdw \left( \vektor{0 \\ 12 \\ -12} + \left(r-s\right)*\vektor{4 \\ 9 \\ 16} \ \ \right) \
[/mm]
Aber wenn ich das jetzt nach (r-s) auflöse bekomm ich ein Vektor anstatt eine Zahl raus.
Also ich komm ncith so recht weiter.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß, Marc
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Hilfe!
>
> > Daraus ergibt sich dann die Bedingungsgleichung die
> > erfüllt sein muß:
> >
> > [mm]\left( \ \vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ r * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}-\left( \ \vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ s * \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \right) \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \left( \vektor{4 \\ 3 \\ -4} - \vektor{4 \\ 7 \\ -1} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
>
> >
> > Daraus kannst Du jetzt den Wert von r-s berechnen.
>
> Diesen Schritt konnt ich leider nicht rechnerisch lösen.
>
> Also ich hab das zunächst mit dem Aditionsverfahren
> versucht, aber das macht ja kein Sinn, da beim Addieren
> alle Variablen verschwinden.
>
> Die zweite Möglichkeit die ich versucht habe ist
> folgende:
>
> [mm]\gdw \left( \vektor{0 \\ -4 \\ -3} + \left(r-s\right)*\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) \* \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0[/mm]
>
> Dann hab ich die KLammer ausmulizipliziert:
Hallo,
leider hast Du das falsch gemacht. Beim Skalarprodukt kommt eine Zahl raus, keine Vektor.
Skalarprodukt: komponentenweise multiplizieren und dann addieren.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> ich komme leider mit der folgendne Aufgabe nicht zurecht
Hallo,
ich möchte Dir einen Lösungsvorschlag machen, welcher Deinen ersten Gedanken langsam weiterverfolgt.
Es ist also kein Vorschlag zur Turbolösung, sondern einer, der sich langsam herantastet.
> und zwar soll ich den Abstand zweier Geraden bestimmen, doe
> pararell sind.
>
> [mm]g(x)=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]h(x)=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> Also ich mich ja eine Senkrechte zu eine der beiden bilden,
> die die andere schneidet.
> Die Senkrechte hab ich so versucht zu bilden, in dem das
> Skalarpordukt aus dem Richtungsvektor von g mit dem Vektor=
> [mm]\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}[/mm] verswucht habe zu bilden.
>
> [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}*\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}=0[/mm]
Ja, das ist die eine Bedingung: Du suchst einen Vektor, der senkrecht zu dem Richtungsvektor ist.
Das reicht aber nicht: er muß auch noch in derselben Ebene liegen, was Du zuvor nicht beachtet hattest.
In derselben Ebene liegen: [mm] \vec{n} [/mm] ist eine Linearkombination des Richtungsvektors und des Differenzvektors der beiden Stützvektoren.
Wenn Du dies ausschlachtest, bekommst Du einen Vektor, welcher senkrecht zu Deinen Geraden ist und in derselben Ebene liegt. Er ist nicht eindeutig bestimmt, Du kannst Dir einen von ihnen nach Lust und Laune aussuchen.
Mit diesem Vektor könntest Du dann so weiterarbeiten, wie Du es Dir ursprunglich gedacht hattest - falls Du so gedacht hast, wie ich denke...
Gruß v. Angela
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> Aber leider kommen bleiebn die Variablen [mm]n_{1}, n_{2}[/mm] und
> [mm]n_{3}[/mm] allesamt bestehen in der Gleichung: [mm]-2n_{1}- 3n_{2} +4n_{3},[/mm]
> so dass ich dann nicht wieter rechnen kann.
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> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei meinem
> Problem weiterhelfen könnte.
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> Gruß, Marc
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich komme leider mit der folgendne Aufgabe nicht zurecht
> und zwar soll ich den Abstand zweier Geraden bestimmen, doe
> pararell sind.
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> [mm]g(x)=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
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> [mm]h(x)=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
Hallo,
eine andere Lösungsmöglichkeit:
Stelle die Gleichung der zu g senkrechten Ebene durch (4|3|-4) auf und berechne den Punkt, in welchem h diese Ebene schneidet.
Der Abstand zwischen diesem Punkt und (4|3|-4) ist der Abstand der Geraden.
Gruß v. Angela
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Hallo Marc_hb und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
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> ich komme leider mit der folgendne Aufgabe nicht zurecht
> und zwar soll ich den Abstand zweier Geraden bestimmen, doe
> pararell sind.
>
> [mm]g(x)=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]h(x)=\vektor{4 \\ 7 \\ -1}+[/mm] r * [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> Also ich mich ja eine Senkrechte zu eine der beiden bilden,
> die die andere schneidet.
> Die Senkrechte hab ich so versucht zu bilden, in dem das
> Skalarpordukt aus dem Richtungsvektor von g mit dem Vektor=
> [mm]\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}[/mm] verswucht habe zu bilden.
>
> [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}*\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}=0[/mm]
>
> Aber leider kommen bleiebn die Variablen [mm]n_{1}, n_{2}[/mm] und
> [mm]n_{3}[/mm] allesamt bestehen in der Gleichung: [mm]-2n_{1}- 3n_{2} +4n_{3},[/mm]
> so dass ich dann nicht wieter rechnen kann.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei meinem
> Problem weiterhelfen könnte.
>
> Gruß, Marc
>
Du fragst nach einem Standardverfahren, dann solltest du zunächst mal unsere  MatheBank kennenlernen und befragen.
Insbesondere: AbstandsberechnungenR3
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 06.09.2009 | | Autor: | Marc_hb |
Hallo,
ertsmal vielen Dank an alle!
also ich will versuchen noch die anderen Lösungswege nachzuvollziehen, aber zunächst will ich noch mal so versuchen wie es mir im ersten Beitrag geraten wurde.
Also mit der Bedingungsgleichung:
[mm] \left( \ \vektor{4 \\ 3 \\ -4}+ r \cdot{} \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}-\left( \ \vektor{4 \\ 7 \\ -1}+ s \cdot{} \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \right) \ \right) [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0 [/mm]
[mm] \gdw \left( \vektor{4 \\ 3 \\ -4} - \vektor{4 \\ 7 \\ -1} + \left(r-s\right)\cdot{}\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0 [/mm]
Nun gehts mir darum, ob ich es nun richtig ausmulitpliziert habe:
[mm] \gdw \left( \vektor{0 \\ -4 \\ -3} + \left(r-s\right)\cdot{}\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} \ \ \right) [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 4}=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] ( 0 + [mm] (r-s)\cdot{}29) [/mm] / / 29
(r-s)=0
Ist das so richtig, also kann ich 0 für (r-s) in die Gleichung: [mm] \overrightarrow{d}=\vektor{4 \\ 3 \\ -4} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ -1} [/mm] + [mm] \left(r-s\right)\cdot{}\vektor{-2 \\ -3 \\ 4} [/mm] einsetzten?
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß, Marc
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Hallo!
...
> (r-s)=0
Das ist das richtige Ergebnis.
> Ist das so richtig, also kann ich 0 für (r-s) in die
> Gleichung: [mm]\overrightarrow{d}=\vektor{4 \\ 3 \\ -4}[/mm] -
> [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ -1}[/mm] + [mm]\left(r-s\right)\cdot{}\vektor{-2 \\ -3 \\ 4}[/mm]
> einsetzten?
Genau so musst du es machen. Den Abstand der beiden parallelen Geraden erhältst du, indem du dann den Betrag von [mm] \vec{d} [/mm] bildest.
Grüße,
Stefan
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