Abstand Punkt-Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne den Abstand [mm] d_k [/mm] des Punktes [mm] D_k(5-2k/1/k) [/mm] von der Ebene E 0=2x1+x3
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habe die HNF benutzt und bekomme wenn ich [mm] D_k [/mm] einsetze in HNF der ebene
HNF = -2x1+x3 [mm] /\wurzel{5} [/mm] = 0
einsetzen von [mm] D_k
[/mm]
2(5-2k)-k / [mm] \wurzel{5}= [/mm] 0 (vorher mit *-1 multipliziert)
so schön und gut aber was habe ich niunn davon nach angaben soll der Abstand [mm] sein\wurzel{5} [/mm] * 2-k
wie komme ich den darauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alex42 |
Hallo Namensvetter,
ist doch alles richtig, um auf die angegebene Lösung zu kommen braucht es nur ein paar Umformungen:
[mm] $\frac{2(5-2k)-k}{\wurzel{5}} [/mm] = [mm] \frac{2*5-5k}{\wurzel{5}} [/mm] = [mm] 2\wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{5}k [/mm] = [mm] \wurzel{5}(2-k)$
[/mm]
Viele Grüße,
Alex
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| Aufgabe | hjmm vlt bin ich doof
aber wie kann man das umformen welches gesetzt steckt den dahinter die wurzel 5 war doch im nenner wieso auf eimal im zähler??
[mm] \frac{2\cdot{}5-5k}{\wurzel{5}} [/mm] = [mm] 2\wurzel{5} [/mm] - [mm] \wurzel{5}k [/mm] DIESEN schritt verstehe ich nicht,wärst du so nett den für ganz dumme zu erklären??
danke
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siehe oben
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alex42 |
Ist vielleicht nicht ganz offensichtlich aber nicht schwer: Es gilt doch:
$5 = [mm] (\wurzel{5})^2$
[/mm]
Du kannst also mit [mm] $\wurzel{5}$ [/mm] kürzen.
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| Aufgabe | nächste aufgabenstellung :
[mm] D_k´´ [/mm] sei die Senkrechte Projektion des Punktes [mm] D_k [/mm] auf die Ebene ABC
.BESTIMME die Koordinaten von [mm] D_k´´ [/mm]
A(0/0/0) ,B(3/0/6) ;C(1/6/2) und [mm] D_k(5-2k/1/k)
[/mm]
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die Koordinatenform der Ebene ist -2x1+x3 =0
HMM wie mache ich das nun mit der senkrechten Projektion einfach [mm] D_k [/mm] in E EINsetzen oder wie müsste man es normal machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alex42 |
Dass du nicht einfach den Punkt in die Ebene einsetzen kannst, zeigt dir schon das Ergebnis: du bekommst eine Zahl, suchst aber drei (die Koordinaten).
Wenn ich das richtig sehe, hast du ja vorher den Abstand des Punktes zur Ebene berechnet. Senkrechte Projektion heißt, dass du längs des Normalenvektors projezierst. D.h. du müsstest von deinem Punkt [mm] $D_k$ [/mm] "das Abstand-fache in Richtung des (normierten) Normalenvektors gehen", um zu dem gesuchten Punkt P zu kommen. Etwas formaler:
[mm] $\vec{P} [/mm] = [mm] \vec{D_k} [/mm] + [mm] \wurzel{5}(2-k) \vec{n}$,
[/mm]
wobei [mm] $\wurzel{5}(2-k)$ [/mm] ja der Abstand und [mm] $\vec{n}$ [/mm] der Normalenvektor aus der HNF ist (vorsicht mit dem Vorzeichen, es könnte sein, dass du [mm] $-\vec{n}$ [/mm] rechnen musst, je nachdem, in welche Richtung der Normalenvektor zeigt).
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| Aufgabe | hmmm okay ich glaube ich habe es begriffen also müsste ich machen
P= [mm] \vektor{5-2k\\ 1\\k}+ \vektor{2( \wurzel{5}(2-k)\\ 0\\-\wurzel{5}(2-k)}
[/mm]
??? ist das richtig??
aber ich bekomme voll die komiche koordinate raus und zwar [mm] P(3k+2\wurzel{5}k/1/k-\wurzel{5}k)
[/mm]
ist das richtig??
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siehe oben
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alex42 |
Ich glaube, du hast die Normierung vergessen. Der normierte Normalenvektor ist ja
[mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\wurzel{5}}\vektor{-2\\0\\1}$
[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] $\vec{P} [/mm] = [mm] \vektor{5-2k\\1\\k} [/mm] + [mm] \wurzel{5}(2-k) [/mm] * [mm] \frac{1}{\wurzel{5}}\vektor{-2\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{5-2k\\1\\k} [/mm] + [mm] \vektor{-4+2k\\1\\2-k} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\2}$
[/mm]
Dieser Punkt liegt in der Ebene - sollte also die Lösung sein.
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| Aufgabe | danke
noch eine frage ginge das auch über das skalarprodukt weil der Punkt A(0/0/0) ist auch gegeben und liegt auf der ebene und der projetzierte Punkt [mm] D_k´ [/mm] liegt ja genau unter [mm] D_k
[/mm]
also dachte ich [mm] \vec{adk´}*\vec{dk´´d_k}=0
[/mm]
also verbindungsvektor von A nach projektierten punkt * Projektierter Punkt verbunden mit [mm] D_k [/mm] =0
geht das oder nicht,..?
hmm wo ich das grade schreibe denke ich es ginge nicht da ich 2 mal einen unbekannten punkt habe.... |
s.o
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Do 19.02.2009 | | Autor: | glie |
> danke
> noch eine frage ginge das auch über das skalarprodukt weil
> der Punkt A(0/0/0) ist auch gegeben und liegt auf der ebene
> und der projetzierte Punkt [mm]D_k´[/mm] liegt ja genau unter [mm]D_k[/mm]
> also dachte ich [mm]\vec{adk´}*\vec{dk´´d_k}=0[/mm]
>
> also verbindungsvektor von A nach projektierten punkt *
> Projektierter Punkt verbunden mit [mm]D_k[/mm] =0
> geht das oder nicht,..?
> hmm wo ich das grade schreibe denke ich es ginge nicht da
> ich 2 mal einen unbekannten punkt habe....
> s.o
Prinzipiell kannst du das schon auch über das Skalarprodukt lösen, aber das würd ich mir nicht antun, denn das wird schon komplizierter.
Du müsstest zunächst mal den unbekannten Punkt [mm] D_{k}' [/mm] als allgemeinen Ebenenpunkt [mm] P_{E} [/mm] ansetzen. Dazu brauchst du die Parameterform der Ebene.
Und dann reicht eine Gleichung mit dem Skalarprodukt nicht aus. Du müsstest dann schon zwei Gleichungen aufstellen.
Also zum Beispiel
[mm] \overrightarrow{AP_{E}}\circ \overrightarrow{D_{k}P_{E}}=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BP_{E}}\circ \overrightarrow{D_{k}P_{E}}=0
[/mm]
Wesentlich einfacher ist es doch, die Lotgerade auf die Ebene durch den Punkt [mm] D_{k} [/mm] aufzustellen. Richtungsvektor ist dabei der Normalenvektor der Ebene. Schneide dann einfach diese Lotgerade mit der Ebene und du hast den gesuchten Punkt [mm] D_{k}'.
[/mm]
Dann kannst du auch auf die Normierung verzichten und musst nicht aufpassen in welche Richtung der Normalenvektor zeigt.
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 19.02.2009 | | Autor: | alex42 |
> Wesentlich einfacher ist es doch, die Lotgerade auf die
> Ebene durch den Punkt [mm]D_{k}[/mm] aufzustellen. Richtungsvektor
> ist dabei der Normalenvektor der Ebene. Schneide dann
> einfach diese Lotgerade mit der Ebene und du hast den
> gesuchten Punkt [mm]D_{k}'.[/mm]
>
> Dann kannst du auch auf die Normierung verzichten und musst
> nicht aufpassen in welche Richtung der Normalenvektor
> zeigt.
Das ist natürlich die allgemeine Art, so eine Aufgabe zu lösen, hätte ich sonst auch so gemacht. Da aber halt vorher der Abstand berechnet werden sollte, kann man diese Information ja auch gleich nutzen. Der Nachteil mit der Lotgerade ist ja, dass man ein lineares Gleichungssystem lösen muss, um den Durchstoßpunkt zu berechnen, und das ist - wenn ich so an meine Abi-Vorbereitung denke - SEHR fehleranfällig ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Do 19.02.2009 | | Autor: | glie |
> > Wesentlich einfacher ist es doch, die Lotgerade auf die
> > Ebene durch den Punkt [mm]D_{k}[/mm] aufzustellen. Richtungsvektor
> > ist dabei der Normalenvektor der Ebene. Schneide dann
> > einfach diese Lotgerade mit der Ebene und du hast den
> > gesuchten Punkt [mm]D_{k}'.[/mm]
> >
> > Dann kannst du auch auf die Normierung verzichten und musst
> > nicht aufpassen in welche Richtung der Normalenvektor
> > zeigt.
>
>
> Das ist natürlich die allgemeine Art, so eine Aufgabe zu
> lösen, hätte ich sonst auch so gemacht. Da aber halt vorher
> der Abstand berechnet werden sollte, kann man diese
> Information ja auch gleich nutzen. Der Nachteil mit der
> Lotgerade ist ja, dass man ein lineares Gleichungssystem
> lösen muss, um den Durchstoßpunkt zu berechnen, und das ist
> - wenn ich so an meine Abi-Vorbereitung denke - SEHR
> fehleranfällig ;)
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Muss man nicht....wenn du die Gerade in die Koordinatenform der Ebene einsetzt erhältst du EINE Gleichung mit EINER Unbekannten!!
Das sollte nicht zu fehleranfällig sein.
Gruß Glie
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