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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Für a [mm] \in \IR [/mm] zeige man : |a|= max{a,0} + max{-a,0}.
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Ich bin ein totaler Newcomer und mir fehlt die treffende Idee wie ich an der so einfache Aufgabe herangehenn soll.
Ich habe die Definition des Absolutbetag und eine Bemerkung eines Profs in einem Lehrbuch herangezogen, welches ermögliches sollte, die aufgabe zu lösen.
Definition: |a|= [mm] \begin{cases} a, a \ge 0 \\ -a, & \mbox a < 0 \end{cases}
[/mm]
Bemerkung: Sind [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] Maxima von M, so gilt [mm] a_{2} \ge a_{1} [/mm] und [mm] a_{1} \ge a_{2}, [/mm] also [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}. [/mm] Ebenso sind auch Minima eindeutig bestimmt.
Ich denke die beiden Information würde mich zur Lösung des problems führen.
Wenn ich die Bemerkung auf der Gleichung |a|= max{a,0} + max{-a,0} anwende mit der tatsache das [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] ist, so addieren sich die Maximen und es ensteht ein Produkt, also 2*a_({1+2}). Und das kann solte gleich |a| sein. Ach ich denke ich habe einen üblen Denkfehler! Bitttte Hilfe
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Hallo ggg,
probiers doch mal aus. Sei a=3:
[mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+0=3
[/mm]
Neuer Versuch. Sei a=-2:
[mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{-2,0\}+max\{2,0\}=0+2=2
[/mm]
Vergiss die Bemerkung über zwei Maxima oder Minima, die jeweils zusammenfallen müssen. Hier ist M verschieden.
Trotzdem siehst Du vielleicht, wie es geht. Versuch eine Fallunterscheidung für [mm] \a{}a<0 [/mm] und [mm] a\ge{0}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:56 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Ich danke dir für deine schnelle Antwort. Mir leuchtet eines nur nicht ein, obwohl ich rein logisch schon verstehe was du machst, nämlich in der Rechung:
probiers doch mal aus. Sei a=3:
[mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+0=3
[/mm]
Wieso gerade [mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+ [/mm] 0 =3 und nicht [mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+ [/mm] -3 =0.
Welche Gesetzmäßigkeit steckt dahinter das du in der Menge die negativen Zahlen für a<0 ausschließt und dich der Null bedienst falls es keine positive Zahlen gibst.
Gruß
ggg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wieso gerade
> [mm]|a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+[/mm] 0 =3
> und nicht
> [mm]|a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=max\{3,0\}+max\{-3,0\}=3+[/mm] -3
> =0.
Na, was ist denn das Maximum aus $-3$ und $0$? Es gilt doch $-3 < 0$, also ist 0 groesser als $-3$.
> Welche Gesetzmäßigkeit steckt dahinter das du in der
> Menge die negativen Zahlen für a<0 ausschließt und dich
> der Null bedienst falls es keine positive Zahlen gibst.
Im Endeffekt ist das egal wierum man es macht. In deiner Betragsdefinition ist $|a| = a$ fuer $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $|a| = -a$ fuer $a < 0$. Also macht es Sinn genau so zu unterscheiden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Woow, das is ja total einfach!!! Danke für eure Erklärung und Geduld
Ich will jetzt den Beweis aufstellen. Bitte korrigiert mich wenn er lückenhaft sein soll.
Beweis.
Da [mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}= [/mm] a + 0 = a ist, folgt unmittelbar aus der Betragsdéfinition die Korrekheit der Aussage.
Reicht das aus, oder muss ich noch (ganz detailiert und pingelig) zeigen, wieso das aus der Betragsdefinition die Wahrheit dieser Aussage folgt.
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Hallo
> Woow, das is ja total einfach!!! Danke für eure Erklärung
> und Geduld
>
> Ich will jetzt den Beweis aufstellen. Bitte korrigiert
> mich wenn er lückenhaft sein soll.
> Beweis.
> Da [mm]|a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=[/mm] a + 0 = a ist, folgt
> unmittelbar aus der Betragsdéfinition die Korrekheit der
> Aussage.
Das stimmt so (wenn ich deine Überlegung richtig interpretiere) nicht ganz. Wenn du a = -x nimmst, x [mm] \in \IN_{>0}, [/mm] so ist [mm] max\{-a,0\} \not= [/mm] 0.
(Dafür ist dann [mm] max\{a,0\} [/mm] = 0).
Mache also eine Fallunterscheidung.
>
> Reicht das aus, oder muss ich noch (ganz detailiert und
> pingelig) zeigen, wieso das aus der Betragsdefinition die
> Wahrheit dieser Aussage folgt.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Danke vielmals für dein Hinweis.
Neuer Versuch:
Beweis.
1. Fall
Wenn a = x ist und x [mm] \in \IN_{\ge 0} [/mm] dann folgt
[mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}= [/mm] a + 0 = a . Da definitionsgemäß a = |a| ist für a [mm] \ge [/mm] 0, ist somit der erste Fall gezeigt worden
2. Fall
Wenn a = -x ist und x [mm] \in \IN_{< 0} [/mm] dann folgt
[mm] |a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}= [/mm] 0 + -a = -a . Da definitionsgemäß -a = |a| ist für a < 0, ist somit der zweite Fall gezeigt worden
Die Fallunterscheidung zeigt das die Bedingung für die Betragsdefinition erfüllt werden, wodurch unmittelbar dann die Korrektheit der Aussage folgt.
Vielleicht ist das etwas umständlich gemacht worden, aber wenn ihr den Beweis besser bzw. eleganter aufstellen könnt, dann postet das bitte mit, da ich das als große Bereicherung sehe von einem Erfahrenen zu lernen 
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Hallo Jonas,
> Danke vielmals für dein Hinweis.
> Neuer Versuch:
> Beweis.
> 1. Fall
> Wenn a = x ist und x [mm]\in \IN_{\ge 0}[/mm]
du meinst [mm] $x\in \red{\IR}_{\ge 0}$, [/mm] also [mm] $x\ge [/mm] 0$
> dann folgt
> [mm]|a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=[/mm] a + 0 = a . Da
> definitionsgemäß a = |a| ist für a [mm]\ge[/mm] 0, ist somit
> der erste Fall gezeigt worden
Das ist ein bisschen umständlich, mir scheint, du lässt dich von den ganzen Beträgen ein wenig verwirren.
Deine Bedingung $a=x$ und [mm] $x\in\IR_{\ge 0}$ [/mm] kannst du der Übersicht halber mal zu "Sei [mm] $a\ge [/mm] 0$" zusammenfassen.
Dann ist $|a|=a$, [mm] $-a\le [/mm] 0$ und [mm] $\blue{\max\{a,0\}=a}$ [/mm] und [mm] $\red{\max\{-a,0\}=0}$
[/mm]
Klar, wieso?
Also ist [mm] $|a|=a=\blue{a}+\red{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\}$
[/mm]
Und genau das ist zu zeigen, also ist der 1.Fall abgehakt
> 2. Fall
> Wenn a = -x ist und x [mm]\in \IN_{< 0}[/mm]
Damit wäre a wieder größer als Null, und das willst du ja nicht!
Was ist das außerdem für ein Zahlbereich 
Du meinst: "sei [mm] $a\in\IR_{<0}$", [/mm] also "sei $a<0$"
Dann ist wie oben $|a|=-a$ und [mm] $\max\{a,0\}=...$ [/mm] und [mm] $\max\{-a,0\}=...$, [/mm] denn mit $a<0$ ist $-a>0$
Damit ....
Schließe mal analog zum 1.Fall
> ... dann folgt
> [mm]|a|=max\{a,0\}+max\{-a,0\}=[/mm] 0 + -a = -a . Da
> definitionsgemäß -a = |a| ist für a < 0, ist somit der
> zweite Fall gezeigt worden
> Die Fallunterscheidung zeigt das die Bedingung für die
> Betragsdefinition erfüllt werden, wodurch unmittelbar dann
> die Korrektheit der Aussage folgt.
>
> Vielleicht ist das etwas umständlich gemacht worden, aber
> wenn ihr den Beweis besser bzw. eleganter aufstellen
> könnt, dann postet das bitte mit, da ich das als große
> Bereicherung sehe von einem Erfahrenen zu lernen
Mit der Übung kommt die Struktur von ganz allein, je mehr Beweise du machst, desto sauberer werden sie auch ...
Wenn du magst, schreibe nochmal alles schön strukturiert und formal sauber auf, also mit "Beh.:, Bew.: und den Voraussetzungen" für die Fälle und allem Pipapo, dann schauen wir noch ein letztes Mal drauf.
Ich bin sicher, dass dir der Beweis nun blitzsauber gelingt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Ich danke dir herzlich für deine sehr gute Erklärung. Sie ist einfach Klasse
Ich stell dann noch einmal sauber den Beweis auf.
Behauptung. Für [mm] a\in\IR [/mm] gilt : |a|= max{a,0} + max{-a,0}
Beweis. Damit die Behauptung gültig ist, muss sie beide Bedingungen der Betragsdefinition erfüllen, welches im folgenden gezeigt wird.
1. Fall
Sei a [mm] \in {\IR}_{\ge 0} [/mm] , so folgt für [mm] \max\{a,0\}=a [/mm] und [mm] \max\{-a,0\}=0 [/mm] . Folglich ergibt sich für [mm] |a|=a={a}+{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\} [/mm] was für den 1. Fall zu zeigen war.
2. Fall
Sei a [mm] \in {\IR}_{< 0} [/mm] , so folgt für [mm] \max\{a,0\}=a [/mm] und [mm] \max\{-a,0\}=0 [/mm] , da a<0 und -a>0 ist . Folglich ergibt sich für [mm] |a|=a={a}+{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\} [/mm] was für den 2. Fall zu zeigen war.
Die Fallunterscheidung zeigt das die Bedingung für die Betragsdefinitinon erfüllt werden, wodurch unmittelbar dann die Gültigkeit der Aussage folgt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich danke dir herzlich für deine sehr gute Erklärung. Sie
> ist einfach Klasse
>
> Ich stell dann noch einmal sauber den Beweis auf.
>
> Behauptung. Für [mm]a\in\IR[/mm] gilt : |a|= max{a,0} + max{-a,0}
>
> Beweis. Damit die Behauptung gültig ist, muss sie beide
> Bedingungen der Betragsdefinition erfüllen, welches im
> folgenden gezeigt wird.
> 1. Fall
> Sei a [mm]\in {\IR}_{\ge 0}[/mm] , so folgt für [mm]\max\{a,0\}=a[/mm] und
> [mm]\max\{-a,0\}=0[/mm] . Folglich ergibt sich für
> [mm]|a|=a={a}+{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\}[/mm] was für den 1. Fall
> zu zeigen war.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Fall
> Sei a [mm]\in {\IR}_{< 0}[/mm] , so folgt für [mm]\max\{a,0\}=a[/mm] und
> [mm]\max\{-a,0\}=0[/mm] , da a<0 und -a>0 ist .
Nein, das ist doch Quark. Wenn $a < 0$ ist, dann gilt [mm] $\max\{ a, 0 \} [/mm] = 0$. Das Maximum ist doch eindeutig 0! Und wenn $-a > 0$ ist, dann ist [mm] $\max\{ -a, 0 \} [/mm] = -a$, da $-a$ eindeutig groeseser ist als 0!
> Folglich ergibt sich
> für [mm]|a|=a={a}+{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\}[/mm] was für den 2.
> Fall zu zeigen war.
Das ist dann ebenso falsch.
> Die Fallunterscheidung zeigt das die Bedingung für die
> Betragsdefinitinon erfüllt werden, wodurch unmittelbar
> dann die Gültigkeit der Aussage folgt.
Das stimmt wieder.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Das ist mir peinlich. Ich habe mich da ungewollt vertüdelt.
Jetzt ist es aber sicherlich richtig ansonsten Schlage mir den Kopf die ganze Nacht gegen die Wand!!!
Behauptung. Für gilt : |a|= max{a,0} + max{-a,0}
Beweis. Damit die Behauptung gültig ist, muss sie beide Bedingungen der Betragsdefinition erfüllen, welches im folgenden gezeigt wird.
1. Fall
Sei a [mm] \in {\IR}_{\ge 0}, [/mm] so folgt [mm] \max\{a,0\}=a [/mm] für und [mm] \max\{-a,0\}=0. [/mm] Folglich ergibt sich für [mm] |a|=a={a}+{0}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\} [/mm] was für den 1. Fall zu zeigen war.
2. Fall
Sei a [mm] \in {\IR}_{< 0} [/mm] , so folgt für [mm] \max\{a,0\}=0 [/mm] und [mm] \max\{-a,0\}=-a [/mm] , da a<0 und -a>0 ist. Folglich ergibt sich für [mm] |a|=-a={0}+{-a}=\max\{a,0\}+\max\{-a,0\} [/mm] was für den 2. Fall zu zeigen war.
Die Fallunterscheidung zeigt das die Bedingung für die Betragsdefinitinon erfüllt werden, wodurch unmittelbar dann die Gültigkeit der Aussage folgt.
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Ja, so stimmt's.
Es ist (sinnvolle) Gepflogenheit in der Mathematik, so wenig Worte wie möglich zu machen. Du könntest noch knapper formulieren, aber Hauptsache, der Gedankengang des Beweises stimmt erst mal. Und das tut er.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ggg |
Ich danke euch alle vielmals für eure Geduld und liebevolle Erklärungen.
LG
Jonas
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