Abschluss, Inneres, konvex,... < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Sa 04.04.2009 | | Autor: | kowi |
| Aufgabe | Beispiel:
X = [mm] [0,1]\cap \IQ [/mm] nicht konvex (Frage a)
b) cl(x) = [0,1] bezeichnet hier den Abschluss
c) int(cl(x)) = (0,1)
d) int(X) = [mm] \emptyset [/mm] = cl(int(x))
cl(x); damit ist der Abschluss gemeint
int(X) bezeichnet das innere |
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit diesen Begriffen Abschluss, Inneres und konvex.
Die Definition liegt mir vor, verstanden habe ich sie aber nicht. Meine Fragen, die ich habe:
a) Kann man das auf anhieb sehen, dass diese Menge nicht konvex ist? Konvex ist ja anschaulich: wenn man z. B. einen Kreis hat und zwei Punkte in dem Kreis, dass die Verbindung zwischen den beiden Punkten in der Menge (Kreis liegt).
In diesem Fall haben wir nur die Q Werte, die im Bereich 0, 1 liegen, dass diese Menge nicht konvex ist, kann ich mir gut vorstellen, auf Grund der vorher beschriebenen Anschauung, aber ist das richtig, meine Überlegung auf das triviale zurückzuführen?
Nicht konvex wäre ja z. B. eine Banane, wo man vom oberen Bogen zum unteren Bogen geht und die Banane verlässt (schwierig zu beschreiben, aber ich denke, jeder kann sich vorstellen, was ich meine)
b) Warum werden alle fehlenden Elemente der Menge X = [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] ergänzt? Normalerweise habe ich doch eine Menge (z. B. einen Kreis mit Radius kleiner 1); dann gehören zu X alle Punkte, die vom Mittelpunkt den Radius <1 haben. Nehmen wir den Rand noch dazu (also Abschluss), bekommen wir alle Punkte mit der Entfernung Radius [mm] \le [/mm] 1. bzw . die Elemente mit r=1 kommen dazu. Bei der Menge X kann ich mir das nicht vorstellen, dass wir da so viele Punkte ergänzen.
c) Ok, das verstehe ich
Aber d) irgendwie nicht, so wie ich das jetzt sehe, haben wir
1, 1/2, 1/3, 1/4,....,1/100, ... ,0 als unsere Menge (darf man so bestimmt nicht sagen, aber sehen wir da mal drüber weg). Warum ist das Innere der Menge nicht die Punkte selbst, sondern leer? Verstehe ich nicht.
cl(int(X)), na ja, [mm] cl(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] kann ich mir gut vorstellen ;) Aber nicht, warum das Inner eleer ist.
Wäre schön, wenn jemand seine Meinung dazu schreiben würde.
Viele liebe Grüße
Kowi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Beispiel:
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> X = [mm][0,1]\cap \IQ[/mm] nicht konvex (Frage a)
>
> b) cl(x) = [0,1] bezeichnet hier den Abschluss
>
> c) int(cl(x)) = (0,1)
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> d) int(X) = [mm]\emptyset[/mm] = cl(int(x))
>
> cl(x); damit ist der Abschluss gemeint
>
> int(X) bezeichnet das innere
> Hallo!
>
> Ich beschäftige mich gerade mit diesen Begriffen Abschluss,
> Inneres und konvex.
>
> Die Definition liegt mir vor, verstanden habe ich sie aber
> nicht. Meine Fragen, die ich habe:
>
> a) Kann man das auf anhieb sehen, dass diese Menge nicht
> konvex ist? Konvex ist ja anschaulich: wenn man z. B. einen
> Kreis hat und zwei Punkte in dem Kreis, dass die Verbindung
> zwischen den beiden Punkten in der Menge (Kreis liegt).
> In diesem Fall haben wir nur die Q Werte, die im Bereich 0,
> 1 liegen, dass diese Menge nicht konvex ist, kann ich mir
> gut vorstellen, auf Grund der vorher beschriebenen
> Anschauung, aber ist das richtig, meine Überlegung auf das
> triviale zurückzuführen?
Nimm einfach zwei verschiedene Punkte aus X. Jeder Weg der beide Punkte verbindet muss zwangsweise eine irrationale Zahl "überqueren", und die ist ja nicht mehr in der Menge drin.
> Nicht konvex wäre ja z. B. eine Banane, wo man vom oberen
> Bogen zum unteren Bogen geht und die Banane verlässt
> (schwierig zu beschreiben, aber ich denke, jeder kann sich
> vorstellen, was ich meine)
>
> b) Warum werden alle fehlenden Elemente der Menge X = [0,1]
> [mm]\cap \IQ[/mm] ergänzt? Normalerweise habe ich doch eine Menge
> (z. B. einen Kreis mit Radius kleiner 1); dann gehören zu X
> alle Punkte, die vom Mittelpunkt den Radius <1 haben.
> Nehmen wir den Rand noch dazu (also Abschluss), bekommen
> wir alle Punkte mit der Entfernung Radius [mm]\le[/mm] 1. bzw . die
> Elemente mit r=1 kommen dazu. Bei der Menge X kann ich mir
> das nicht vorstellen, dass wir da so viele Punkte ergänzen.
>
Der Abschluss sind alle Berührpunkte einer Menge. Wenn du irgendeine irrationale Zahl aus [0,1] nimmst, dann liegt doch in jeder Umgebung dieser Zahl eine rationale Zahl, und die ist Element von X. Also ist jede irrationale Zahl aus [0,1] ein Berührpunkt von X; ebenso auch jede rationale Zahl aus [0,1].
> c) Ok, das verstehe ich
>
Bist du dir sicher? Wenn du d) nicht verstanden hast, dann hast du wahrscheinlich auch c) nicht verstanden.
> Aber d) irgendwie nicht, so wie ich das jetzt sehe, haben
> wir
>
> 1, 1/2, 1/3, 1/4,....,1/100, ... ,0 als unsere Menge (darf
> man so bestimmt nicht sagen, aber sehen wir da mal drüber
> weg). Warum ist das Innere der Menge nicht die Punkte
> selbst, sondern leer? Verstehe ich nicht.
Jede Umgebung eines Punktes aus X enthält eine irrationale Zahl, und die sind ja nicht in X. Also kannst du zu keinem Punkt aus X eine Umgebungs angeben in der nur Punkte aus X liegen.
> cl(int(X)), na ja, [mm]cl(\emptyset)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] kann ich mir
> gut vorstellen ;) Aber nicht, warum das Inner eleer ist.
>
> Wäre schön, wenn jemand seine Meinung dazu schreiben
> würde.
>
> Viele liebe Grüße
> Kowi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 04.04.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo Merle23, vielen dank für deine Antwort
Aber eins noch
Beispiel:
X = $ [mm] [0,1]\cap \IQ [/mm] $ nicht konvex (Frage a)
b) cl(x) = [0,1] bezeichnet hier den Abschluss
c) int(cl(x)) = (0,1)
> > c) Ok, das verstehe ich
> >
>
> Bist du dir sicher? Wenn du d) nicht verstanden hast, dann
> hast du wahrscheinlich auch c) nicht verstanden.
Da cl(X) = [0,1] gegeben war... Ich habe einfach darauf geschlossen, dass bei einem abgeschlossenen Intervall als Abschluss einer Menge das Innere immer das offene Intervall ist.
Deiner Frage entnehme ich, dass du da ein Gegenbeispiel parat hast? ODer zumindest meine Behauptung widerlegen möchtest?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Beispiel:
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> X = [mm][0,1]\cap \IQ[/mm] nicht konvex (Frage a)
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> b) cl(x) = [0,1] bezeichnet hier den Abschluss
>
> c) int(cl(x)) = (0,1)
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> > > c) Ok, das verstehe ich
> > >
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> > Bist du dir sicher? Wenn du d) nicht verstanden hast, dann
> > hast du wahrscheinlich auch c) nicht verstanden.
>
> Da cl(X) = [0,1] gegeben war... Ich habe einfach darauf
> geschlossen, dass bei einem abgeschlossenen Intervall als
> Abschluss einer Menge das Innere immer das offene Intervall
> ist.
> Deiner Frage entnehme ich, dass du da ein Gegenbeispiel
> parat hast? ODer zumindest meine Behauptung widerlegen
> möchtest?
>
Es ist schon richtig was du sagst; es ist wirklich [mm]int([a,b]) = (a,b) \ f"ur \ alle \ a
Aber die Frage ist "warum"! Weisst du das? Kannst du das anhand der Definition von "offen" nachprüfen?
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