Abschätzung Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei (O,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es seien [mm] A_{1},...,A_{n} \in [/mm] F unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie, dass: [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n}A^{c}_{i}) \le exp(-\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})) [/mm] |
Laut Tipp soll des Übungsleiters man das mithilfe der bekannten Ungleichung 1-x [mm] \le [/mm] exp(-x) lösen. Mit DeMorgan ergibt sich [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n}A^{c}_{i}) [/mm] = [mm] P((\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})^{c}) [/mm] = [mm] 1-P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})
[/mm]
Aber dann gibt's ein Problem, da ich nun eine Abschätzung oder Umformung zu 1 [mm] -\summe_{i=1}^{n}P(A_{i}) [/mm] bräuchte. Aber tatsächlich ist der Termin zu groß, ich kenne nur die Abschätzung: [mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})\ge\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})-\summe_{1 \le i < j \le n}P(A_{i}) \cap P(A_{j})
[/mm]
Ich hab das Gefühl, ich hab es fast. Tatsächlich habe ich die Unabhänigkeit der Ereignisse noch nicht benutzt, wüsste aber auch nicht wozu. Jemand einen Tipp?
Danke schonmal!
Karl
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Hallo Karl,
> Es sei (O,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es seien
> [mm]A_{1},...,A_{n} \in[/mm] F unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie,
> dass: [mm]P(\bigcap_{i=1}^{n}A^{c}_{i}) \le exp(-\summe_{i=1}^{n}P(A_{i}))[/mm]
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> Laut Tipp soll des Übungsleiters man das mithilfe der
> bekannten Ungleichung 1-x [mm]\le[/mm] exp(-x) lösen. Mit DeMorgan
> ergibt sich [mm]P(\bigcap_{i=1}^{n}A^{c}_{i})[/mm] =
> [mm]P((\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})^{c})[/mm] =
> [mm]1-P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})[/mm]
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> Aber dann gibt's ein Problem, da ich nun eine Abschätzung
> oder Umformung zu 1 [mm]-\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})[/mm] bräuchte.
> Aber tatsächlich ist der Termin zu groß, ich kenne nur
> die Abschätzung:
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})\ge\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})-\summe_{1 \le i < j \le n}P(A_{i}) \cap P(A_{j})[/mm]
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> Ich hab das Gefühl, ich hab es fast. Tatsächlich habe ich
> die Unabhänigkeit der Ereignisse noch nicht benutzt,
> wüsste aber auch nicht wozu. Jemand einen Tipp?
Beginne mal so:
[mm]\IP\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i^c\right)=\prod\limits_{i=1}^n\IP(A_i^c)[/mm]
Überlege dir dazu, dass für unabh. [mm]A_i[/mm] auch die [mm]A_i^c[/mm] unabhängig sind.
Nun kannst du zum Gegenereignis übergehen und bist mit dem Tipp des Übungsleiters schnell am Ziel ...
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> Danke schonmal!
> Karl
Gruß
schachuzipus
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