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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:49 So 01.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Abschätzung:
Sei A [mm] \in \mathbb{K}^{n\times n}
[/mm]
[mm] ||A||_2 \le ||A||_F \le \sqrt{n}||A||_2 [/mm] |
Hallo;)
1) [mm] ||A||_2 \le ||A||_F [/mm]
Sei x [mm] \in \mathbb{K}^n [/mm] mit [mm] ||x||_2=1 [/mm] ein vektor, für den das Maximum in [mm] ||Ax||_2 [/mm] angenommen wird.
[mm] ||A||_2= ||Ax||_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^n |\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j|^2 } \le \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 * \sum_{j=1}^n |x_j|^2}= ||A||_F [/mm] * [mm] ||x||_2 [/mm] = [mm] ||A||_F
[/mm]
DIe Ungleichung ist die Cauchy-Schwarz-Ungl.
[mm] 2)||A||_F \le \sqrt{n}||A||_2
[/mm]
Hier komme ich nicht auf eine Ungleichungskette welche die Behauptung zeigten würde. Hier wird sicher in der Summe irgendwo durch den maximalen Wert abgeschätz wodurch [mm] \sqrt{n} [/mm] zustande kommt.
Sei x [mm] \in \mathbb{K}^n [/mm] mit [mm] ||x||_2=1 [/mm] ein vektor, für den das Maximum in [mm] ||Ax||_2 [/mm] angenommen wird.
[mm] ||A||_F [/mm] = [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}* \sqrt{\sum_{j=1}^n |x_j|^2}= \sqrt{(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2)*\sum_{j=1}^n |x_j|^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2*\sum_{j=1}^n |x_j|^2)}
[/mm]
Oder funktioniert, dass besser mit:
$ [mm] ||A||_2= \sqrt{p(A^{\*}A)} [/mm] $
wobei p(A):= $ [mm] max\{|\lambda|: \lambda \in \sigma(A)\} [/mm] $?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 03.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Fr 06.11.2015 | | Autor: | sissile |
Ich würde die Frage gerne nochmal reaktivieren. Vlt. findet sich ja noch wer, der einen Tipp hat?
LG,
sissi
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