Abschätzung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Do 01.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Für die Nullfolge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] bestimme man zu vorgegebenen$ [mm] \epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0 =n_0(\epsilon) \in \IN$ [/mm] sodass [mm] $|x_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $x_n=(1+\bruch{1}{n})^p [/mm] -1$ $ ; p [mm] \in \IN$ [/mm] |
Hallo!
Man könnte das nun einfach nach n auflösen.
In der Lösung wird aber mit dem Binomialkoeffizienten gearbeitet:
[mm] $(1+\bruch{1}{n})^p -1=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot (\bruch{1}{n})^k [/mm] -1$
Dieser Schritt ist mir klar.
Jetzt kommt aber mein Problem.
Es wird behauptet: [mm] $\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}=2^p$
[/mm]
Das verstehe ich nicht. Mir ist bewusst, dass die Abschätzung:
[mm] $(1+\bruch{1}{n})^p [/mm] -1 [mm] \le 2^p [/mm] -1$ gilt.
Wenn ich das aber so mache, fällt mein n heraus.
Also, wie gesagt meine Frage ist, warum das hier: [mm] $\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}=2^p$ [/mm] gilt.
Danke schonmal für euere Mühe.
Gruß
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 01.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Für die Nullfolge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] bestimme man zu
> vorgegebenen[mm] \epsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0 =n_0(\epsilon) \in \IN[/mm]
> sodass [mm]|x_n| < \epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm]
>
> [mm]x_n=(1+\bruch{1}{n})^p -1[/mm] [mm]; p \in \IN[/mm]
> Hallo!
>
> Man könnte das nun einfach nach n auflösen.
> In der Lösung wird aber mit dem Binomialkoeffizienten
> gearbeitet:
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^p -1=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\
k} \cdot (\bruch{1}{n})^k -1[/mm]
>
> Dieser Schritt ist mir klar.
>
> Jetzt kommt aber mein Problem.
>
> Es wird behauptet: [mm]\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\
k}=2^p[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht. Mir ist bewusst, dass die
> Abschätzung:
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^p -1 \le 2^p -1[/mm] gilt.
>
> Wenn ich das aber so mache, fällt mein n heraus.
>
> Also, wie gesagt meine Frage ist, warum das hier:
> [mm]\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\
k}=2^p[/mm] gilt.
Wenn ihr die Tatsache nicht schon in der Vorlesung behadnelt habt, kann man diese recht gut per vollständiger Induktion nach p beweisen.
Zu zeigen ist also, bei noch zu formulierender Ind-Vorauss und
Ind-Anfang:
[mm]\sum_{k=0}^{p+1}{p+1\choose k}=2^{p+1}[/mm]
>
> Danke schonmal für euere Mühe.
>
> Gruß
> Hans
>
>
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du den binomischen Satz:
$ [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}a^kb^{p-k}=(a+b)^p$
[/mm]
für a,b [mm] \in \IR [/mm] und p [mm] \in \IN [/mm] ?
Sicher, den kennst Du. Dann schau mal was passiert, wenn a=b=1 ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 01.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred97 und M.Rex!
Zunächst mal danke für euere Antworten.
> Kennst Du den binomischen Satz:
Ja, der ist mir bekannt.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}a^kb^{p-k}=(a+b)^p[/mm]
>
> für a,b [mm]\in \IR[/mm] und p [mm]\in \IN[/mm] ?
Ok. Dann komm ich auf die [mm] $2^p$ [/mm] Das ist mir bewusst.
Der kommplette Lösungsweg schaut so aus:
$ [mm] (1+\bruch{1}{n})^p -1=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot (\bruch{1}{n})^k [/mm] -1 $
Und nun unter der Annahme dass: $ [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}=2^p [/mm] $
die Abschätzung:
$ [mm] (1+\bruch{1}{n})^p -1=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot (\bruch{1}{n})^k [/mm] -1 $ $<$ [mm] $\bruch{2^p}{\red{n} }$
[/mm]
Ich verstehe nicht warum denn das "n" noch da stehen bleibt.
Die folgende Gleichung gilt doch eigentlich nur für n=1?
$ [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}=2^p [/mm] $
Ich würde es verstehen, wenn man schreiben würde:
$ [mm] (1+\bruch{1}{n})^p -1=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot (\bruch{1}{n})^k [/mm] -1 [mm] =2^p+\summe_{\red{k=1}}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot (\bruch{1}{n})^k [/mm] -1$
Wobei $n=1$ wäre.
Wenn ich aber rein den binomischen Lehrsatz auf $ [mm] (1+\bruch{1}{n})^p [/mm] -1$ anwende,
Dann habe ich doch kein "n" mehr in meiner Gleichung. Ich versteh nicht wie das in der Lösung da stehen bleiben kann. Wenn ich das weiter geführt hätte, würde es so aussehen:
$ [mm] (1+\bruch{1}{n})^p -1=2^p-1$ [/mm]
Vermutlich ist es ein Denkfehler, aber ich komm grad einfach nicht drauf.
Gruß Hans
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Hallo Hans,
da wurden einfach ein paar Schritte weggelassen:
[mm](1+\bruch{1}{n})^p -1=\left(\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \left(\bruch{1}{n}\right)^k\right) -1 = \summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \left(\bruch{1}{n}\right)^k \le \summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \bruch{1}{n} = \bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} < \bruch{1}{n}*\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}[/mm]
Siehst du nun klarer?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 01.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo!
> da wurden einfach ein paar Schritte weggelassen:
>
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^p -1=\left(\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \left(\bruch{1}{n}\right)^k\right) -1 = \summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \left(\bruch{1}{n}\right)^k \le \summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} \cdot \bruch{1}{n} = \bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\ k} < \bruch{1}{n}*\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}[/mm]
>
> Siehst du nun klarer?
Ich denke es ist nun klar. Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß
Hans
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