Abschätzung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Es gilt 1- [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{i}{(cn)^{2}})
[/mm]
[mm] \approx 1-e^{-\bruch{1}{2c^{2}}}
[/mm]
[mm] \approx \bruch{1}{2c^{2}} [/mm] |
Hallo!
Ich mache gerade ein Seminar zum "Buch der Beweise" und benötige für meinen Vortrag ("Gut genug gemischt") obige Abschätzung, die leider im Buch nicht weiter erklärt wird. Kann mir irgendjemand von euch die beiden Abschätzungen erklären???
Vielen lieben Dank!
LG Leni
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Die erste Abschätzung ergibt sich vermutlich durch Ausmultiplizieren und geeignetes Zusammenfassen. Das Ergbnis vergleicht man mit der Reihenentwicklung der entsprechenden Exponentialfunktion. Etwas arbeitsaufwändig... (Vielleicht findet sich das Produkt auch im Bronstein).
Die zweite Abschätzung ergibt sich für hinreichend großes c (so dass [mm]\bruch{1}{c^4}[/mm] schon klein genug - was auch immer das jetzt meint ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ) aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion. Einfach mal einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hmm, ich hab schon so viel rumprobiert, aber ich komm einfach nicht auf das Ergebnis. Meinst du die Darstellung mit [mm] e^{x}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] oder die Darstellung mit [mm] e=(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] ???
Kann mir nicht jemand die Abschätzung genau aufschreiben?
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Mit Reihenentwicklung der Exponentialfunktion meinte ich die erste - die zweite gibt dir ja nur den Wert [mm] e^1.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
ich weiß einfach nicht, wie ich von dem produkt auf die reihendarstellung kommen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leni-H!
Verwende hier:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{a}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(\red{a}) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{a}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hi,
vielen Dank für eure Tipps. Ich muss ja irgendwie von
[mm] \summe_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{i}{(cn)^{2}}) [/mm] auf (1- [mm] \bruch{1}{2c^{2}n})^{n} [/mm] kommen, weil dann kann ich ja sagen, dass das gegen [mm] e^{- \bruch{1}{2c^{2}}} [/mm] geht.
Aber wie bekomme ich die "2" denn in den Nenner??? Das ist eigentlich mein größtes Problem. Weil oben bei dem großen Produkt habe ich ja nirgends eine "2".
Vielen Dank schonmal!
LG Leni
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Hallo Leni,
so schwer ist das ja nun auch nicht.....
[mm]\summe_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{i}{(cn)^{2}}) \le (1-\bruch{1}{(cn)^{2}})^n = (1-\bruch{1}{(c^2n^2)})^n \le (1-\bruch{1}{(2c^2n)})^n[/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1
MfG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hm ja gut, aber ich brauche für die ganze Abschätzung (siehe meine erste Frage) ja die Abschätzung für [mm] 1-\produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] und dann würden sich ja die ganzen [mm] "\le" [/mm] zu [mm] "\ge" [/mm] umdrehen , weil jetzt noch das "1-" davorgeschalten wird. Aber ich brauche ja trotzdem eine Abschätzung für [mm] "\le".
[/mm]
Von dem her geht das auf diesem Weg nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 30.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sieh nochmal dein erstes post an, da steht nichts von [mm] 1-\produkt_{i=1}^{n}
[/mm]
Was ist nun die Aufgabe?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 So 31.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Oh mann, das tut mir jetzt leid, dann war das mein Fehler!!! Ich habs jetzt oben verbessert.
Ich muss also zeigen dass [mm] 1-\produkt_{i=0}^{n-1}(1-\bruch{i}{(cn)^{2}}) [/mm] = [mm] (oder(\le??) 1-e^{-\bruch{1}{2c^{2}}} [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 31.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Man könnte ja eigentlich sagen, dass [mm] 1-\produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] (1- [mm] \bruch {i}{(cn)^{2}}) \le [/mm] 1-(1- [mm] \bruch{n}{(cn)^{2}})^{n} [/mm] = [mm] 1-(1-\bruch{1}{nc^{2}})^{n} [/mm] = [mm] 1-(1-\bruch{\bruch{1}{c^{2}}}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{c^{2}}} [/mm] .... aber wieso braucht man dann die "2" im Nenner (s. mein erster Beitrag) ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Man könnte ja eigentlich sagen, dass [mm]1-\produkt_{i=0}^{n-1}[/mm]
> (1- [mm]\bruch {i}{(cn)^{2}}) \le[/mm] 1-(1-
> [mm]\bruch{n}{(cn)^{2}})^{n}[/mm] = [mm]1-(1-\bruch{1}{nc^{2}})^{n}[/mm] =
> [mm]1-(1-\bruch{\bruch{1}{c^{2}}}{n})^{n}[/mm] =
> [mm]e^{-\bruch{1}{c^{2}}}[/mm]
falsch, wo blieb die 1-?
die 2 im Nenner kommt doch erst im naechsten Schritt.
Tip :Taylor von [mm] e^{-\bruch{1}{c^{2}}}
[/mm]
Gruss leduart
.... aber wieso braucht man dann die
> "2" im Nenner (s. mein erster Beitrag) ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
entschuldigung, ich meinte hier natürlich nicht die summe, sondern das produkt!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Die Abschätzung ist aber genau die Gleiche, ersetze [mm] \Sigma [/mm] durch [mm] \Pi [/mm]
Ich hab nämlich auch das Produkt gemeint und deinen Fehler nur mitzitiert^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
nimm einmal n = 10 und c = 1 (oder sonstwas).
bei dir wäre also 1 - 1/100 kleiner als 1 - 1/10 (letztes ungleichheitszeichen)?!
hmmmm...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
ich könnte mir vorstellen, dass du alle faktoren im produkt gewissermassen durch den mittleren faktor ersetzt. bei diesem mittleren faktor hat der index i den wert n/2. ersetze also jeden faktor durch [mm] (1-(n/2)/(c^2n^2)) [/mm] bzw. das ganze produkt durch die n-te potenz hiervon. ein n kannst du noch kürzen, und dann verwendest du den von loddar anfangs genannten grenzwert.
keine ahnung übrigens, was die genauigkeit dieser approximation angeht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hi, vielen Dank... ja das wäre logisch, dann würde man gleich auf die erste Abschätzung kommen. Aber mit welcher Begründung darf ich denn schreiben:
[mm] \produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] (1- [mm] \bruch{i}{(cn)^{2}}) \approx (1-\bruch{\bruch{n}{2}}{(cn)^{2}})^{n} [/mm] ??
Also ich meine welche mündliche Begründung kann man hierfür geben?
Und wie kommt man auf die zweite Abschätzung, also dass:
[mm] 1-e^{-\bruch{1}{2c^{2}}} \approx \bruch{1}{2c^{2}} [/mm] ???
Dankeschön,
Leni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | schotti |
bin nicht sicher, ob ich deine frage richtig verstehe. wenn ich die erste ungefähre gleichheit begründen müsste, würde ich eben gerade sagen, dass ich jeden der n faktoren durch den mittleren ersetze. aus dem produkt von n verschiedenen faktoren entsteht dadurch eine n-te potenz von immer dem gleichen mittleren faktor. aber eben, wie's um die genauigkeit dieser handgelenk-mal-pi-rechnung steht, ist eine andere frage...
und die zweite gleichheit ist einfach die taylorapproximation bis zum linearen glied. oder auch so: [mm] e^x \approx [/mm] 1+x (stell' dir die tangente im punkt (0/1) vor). also [mm] e^{-x} \approx [/mm] 1-x und [mm] 1-e^{-x} \approx [/mm] x. ersetze dabei das x durch [mm] 1/(2c^2).
[/mm]
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Denn er hat dir die Antworten schon gegeben:
1. Du ersetzt in [mm]\produkt_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{i}{(cn)^{2}})[/mm] den Laufindex i im Produkt durch den "Mittelwert" dieser Laufindizes, also durch [mm] \bruch{n}{2}.
[/mm]
Damit erhältst du: [mm]\produkt_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{i}{(cn)^{2}}) \approx \produkt_{i=0}^{n-1} (1-\bruch{\bruch{n}{2}}{(cn)^{2}})[/mm]
Jetzt taucht im Produktterm der Laufindex nicht mehr auf, d.h. du multiplizierst immer wieder den gleichen Bruch, in diesem Fall also [mm](1-\bruch{\bruch{n}{2}}{(cn)^{2}})[/mm]. Insgesamt musst du das n-mal machen, da i von 0 bis n-1 läuft und damit bekommst du deine Abschätzung 1:
> [mm]\produkt_{i=0}^{n-1}[/mm] (1- [mm]\bruch{i}{(cn)^{2}}) \approx (1-\bruch{\bruch{n}{2}}{(cn)^{2}})^{n}[/mm]
> ??
>
> Und wie kommt man auf die zweite Abschätzung, also dass:
>
> [mm]1-e^{-\bruch{1}{2c^{2}}} \approx \bruch{1}{2c^{2}}[/mm] ???
>
Das kommt aus der Reihendarstellung, die du selbst vorgeschlagen hast:
[mm]e^x=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm].
Setze dort für x deinen echten Exponenten ein, also [mm]-\bruch{1}{2c^2}[/mm] und breche die unendliche Reihe nach dem zweiten Summanden schon ab, dann steht dort:
[mm]e^{-\bruch{1}{2c^2}} \approx 1 - \bruch{1}{2c^2}[/mm].
Diese "Näherungsgleichung" kannst du jetzt noch einfach umstellen und bekommst deine Behauptung heraus.
> Dankeschön,
>
> Leni
Danke an Schotti und die anderen... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Di 02.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hey, vielen lieben Dank an euch alle, dass ihr euch so bemüht habt und mir damit wirklich viel geholfen habt!
Falls jemand noch die Begründung weiß, warum man die Indizes durch [mm] \bruch{n}{2} [/mm] ersetzen darf, kann mir das ja noch begründen.
Danke!
LG Leni
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Naja, du ersetzt die ja nicht, sondern du ersetzt sie nur ungefähr...
Vereinfacht dargestellt:
[mm]1 + 2 + 3 + 4 + .... + n[/mm] ist die gesuchte Summe.
Wenn man das genau ausrechnet, kommt [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] heraus (einfache Summenformel). Das ist aufgelöst [mm]\bruch{n^2}{2} + \bruch{n}{2}[/mm]. Wenn du jetzt sehr große n anschaust, spielt der zweite Summand praktisch keine Rolle mehr (teste es mal mit n=10.000), also lässt man ihn einfach weg.
Das kann man sich auch anders vorstellen (wenn man die Summenformel nicht kennt):
ich will also die obige Summe berechnen, und überlege mir jetzt, wie ich die 1, die 2, die 3, ..... durch eine einzige Zahl ersetzen kann (die man dann n-mal addiert), so dass zumindest ungefähr dasselbe rauskommt. Du kannst jetzt jede Zahl durch den "mittleren Wert" aller Zahlen ersetzen.
Das ist ungefähr [mm] \bruch{n}{2}, [/mm] näher dran kommt man mit einer so einfachen Schätzung nicht.
Beispiele (wieso es nicht so genau ist):
[mm]1+2+3+4 = 10[/mm], mit der Näherung ist es [mm]4*\bruch{4}{2}=8[/mm]
[mm]1+2+3+4+5 = 15[/mm], mit der Näherung ist es [mm]5*\bruch{5}{2}=17,5[/mm].
Beispiele (wieso die Näherung reicht):
[mm]1+2+3+4+...+10.000=50.005.000[/mm], mit der Näherung ist es [mm]10.000*\bruch{10.000}{2}=50.000.000[/mm]
Der Fehler ist letztlich also minimal.
Vielleicht wird die Näherung so ein bisschen klarer.
Gruß,
weightgainer
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