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Ableitungen exp-F.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mo 18.12.2006
Autor: Idale

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,
ich glaube, ich hab ein paar Probleme mit Ableitungen von exp-Funkionen...ich bin mir nämlich nie wirklich sicher, ob ich das machen darf, was ich gerade mache... anhand von drei Ableitungen, 2 einfach u. eine schwere, möchte ich dies einmal demonstrieren :-)

a) f(x) = [mm] e^\wurzel{x-2} [/mm] - f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}e^{x-2}^\bruch{-1}{2} [/mm] * 1

b) f(x) = e^-x * x² - f'(x) = -e^-x * x² + e^-x * 2x

c) f(x) = a^sinx * lna =  f'(x) = 2lna cosx * a^sinx + [mm] \bruch{a^sinx }{a} [/mm]

Ich dürfte nicht zufällig a kürzen?

Besten Dank im Voraus

MFG



        
Bezug
Ableitungen exp-F.: Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Mo 18.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Idale!


Grundsätzlich gilt bei der Anwendung der MBKettenregel auch im Zusammenhang mit exp-Funktionen, dass das Argument erhalten bleibt und erst in der inneren Ableitung berücksichtigt wird:

$f(x) \ = \ [mm] e^{\wurzel{x-2}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\text{irgendwas}}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{e^{\text{irgendwas}}}_{\text{äußere Abl.}}*\underbrace{(\text{irgendwas})'}_{\text{innere Abl.}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\wurzel{x-2}}*\left( \ \wurzel{x-2} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{\wurzel{x-2}}*\bruch{1}{2*\wurzel{x-2}}*1$ [/mm]


> b) f(x) = e^-x * x² - f'(x) = -e^-x * x² + e^-x * 2x

[ok] Stimmt.

  
> c) f(x) = a^sinx * lna =  f'(x) = 2lna cosx * a^sinx + [mm]\bruch{a^sinx }{a}[/mm]

Hier ist mir die Ausgangsfunktion unklar ... [kopfkratz3]

$f(x) \ = \ [mm] a^{\sin(x)}*\ln(a)$ [/mm]     oder    $f(x) \ = \ [mm] a^{\sin(x)*\ln(a)}$ [/mm]  ??


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitungen exp-F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mo 18.12.2006
Autor: Idale


>  
> Hier ist mir die Ausgangsfunktion unklar ... [kopfkratz3]
>  
> [mm]f(x) \ = \ a^{\sin(x)}*\ln(a)[/mm]     oder    [mm]f(x) \ = \ a^{\sin(x)*\ln(a)}[/mm]
>  ??
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Das erste ist gemeint, [mm]f(x) \ = \ a^{\sin(x)}*\ln(a)[/mm]...wenn ich mir meine Ableitung anschaue, dann wäre die sogar richtig, oder?

Danke schön für die bisherige Hilfe
Bezug
                        
Bezug
Ableitungen exp-F.: leider falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mo 18.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Idale!


Da muss ich Dich leider enttäuschen. Der Wert $a_$ ist ja wie eine Konstante anzusehen (und damit auch [mm] $\ln(a)$ [/mm] ).

Wie lautet denn die Ableitung zu [mm] $a^x$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Ableitungen exp-F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 18.12.2006
Autor: Idale


>  
>
> Da muss ich Dich leider enttäuschen. Der Wert [mm]a_[/mm] ist ja wie
> eine Konstante anzusehen (und damit auch [mm]\ln(a)[/mm] ).
>  
> Wie lautet denn die Ableitung zu [mm]a^z[/mm] ?
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Ich hoffe, dass ist jetzt keine Fangfrage...sonst blamier ich mich ja nur... das wäre dann doch 0, oder?

Und das würde bedeuten, dass die erste Ableitung nur 2lna * cosx * a^sinx sei, jetzt richtig?

MFG
Bezug
                                        
Bezug
Ableitungen exp-F.: fast richtig ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mo 18.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Idale!


Hm, war nicht geschickt gestellt die Frage. Ich meinte schon die Ableitung von [mm] $a^x$ [/mm] ...



> Und das würde bedeuten, dass die erste Ableitung nur
> 2lna * cosx * a^sinx sei

Fast ... Ich glaube, Du meinst das Richtige ... aber beim Zusammenfassen von [mm] $\ln(a)*\ln(a)$ [/mm] erhalten wir [mm] $[\ln(a)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \ln^2(a)$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
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