Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | | Ableitung von [mm] x^3-3x^2+sin(3*\pi*x) [/mm] |
die 1.ableitung ist
[mm] 3x^2-6x+3*cos(3*\pi*x)*\pi
[/mm]
kann mir wer kurz schreiben, wie die 3 und die [mm] \pi [/mm] im term um cos zustandekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo dicentra!
Das ist die innere Ableitung gemäß  Kettenregel.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
ok, verstehe. danke.  gruß, dic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
0.Ableitung: [mm] x^3-3x^2+sin(3*\pi*x)
[/mm]
1.Ableitung: [mm] 3x^2-6x+cos(3*\pi*x)*3*\pi
[/mm]
warum muss ich für die zweite ableitung für den teil [mm] cos(3*\pi*x)*3*\pi [/mm] nicht die kettenregel und die produktregel anwenden?
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Hallo dicentra,
> 0.Ableitung: [mm]x^3-3x^2+sin(3*\pi*x)[/mm]
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> 1.Ableitung: [mm]3x^2-6x+cos(3*\pi*x)*3*\pi[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> warum muss ich für die zweite ableitung für den teil
> [mm]cos(3*\pi*x)*3*\pi[/mm] nicht die kettenregel und die
> produktregel anwenden?
Du benötigst lediglich die Kettenregel für den [mm] $\cos(3\pi [/mm] x)$-Teil, das [mm] $3\pi$ [/mm] steht ja als multiplikative Konstante davor (ist unabh. von x, nach dem ja differenziert wird).
Wenn da zB. [mm] $2\cdot{}\cos(3\pi [/mm] x)$ steht, lässt du die mult. Konstante 2 ja auch "unberührt"
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
hallo schachuzipus
> Hallo dicentra,
>
> > 0.Ableitung: [mm]x^3-3x^2+sin(3*\pi*x)[/mm]
> >
> > 1.Ableitung: [mm]3x^2-6x+cos(3*\pi*x)*3*\pi[/mm]
> >
> > warum muss ich für die zweite ableitung für den teil
> > [mm]cos(3*\pi*x)*3*\pi[/mm] nicht die kettenregel und die
> > produktregel anwenden?
>
> Du benötigst lediglich die Kettenregel für den [mm]\cos(3\pi x)[/mm]-Teil,
> das [mm]3\pi[/mm] steht ja als multiplikative Konstante davor (ist
> unabh. von x, nach dem ja differenziert wird).
>
> Wenn da zB. [mm]2\cdot{}\cos(3\pi x)[/mm] steht, lässt du die mult.
> Konstante 2 ja auch "unberührt"
das ist mir auch gerade eingefallen. doch warum wird es in der zweiten ableitung dann zum quadrat geschrieben.
müsste die konstante [mm] 3*\pi [/mm] nicht wegfallen und durch die kettenregel dann wieder da stehen?
also [mm] -sin(3*\pi*x)*3*\pi
[/mm]
anstelle von [mm] -sin(3*\pi*x)*9*\pi^2
[/mm]
>
> LG
>
> schachuzipus
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
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Hallo nochmal,
> hallo schachuzipus
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> das ist mir auch gerade eingefallen. doch warum wird es in
> der zweiten ableitung dann zum quadrat geschrieben.
> müsste die konstante [mm]3*\pi[/mm] nicht wegfallen und durch die
> kettenregel dann wieder da stehen?
Nein, es fallen doch nur additive Konstanten weg (bzw. werden zu 0 beim Ableiten), multiplikative Konstante bleiben stehen
> also [mm]-sin(3*\pi*x)*3*\pi[/mm]
> anstelle von [mm]-sin(3*\pi*x)*9*\pi^2[/mm]
Letzteres ist richtig; das eine [mm] $3\pi$ [/mm] ist von der 1. Ableitung, dann kommt bei der 2.Ableitung einmal [mm] $3\pi$ [/mm] hinzu von der inneren Ableitung von [mm] $\cos(3\pi [/mm] x)$
Im Detail:
[mm] $f'(x)=....+\blue{3\pi}\cdot{}\cos(3\pi [/mm] x)$
[mm] $\Rightarrow f''(x)=...+\underbrace{\blue{3\pi}}_{\text{multipl. Konstante}}\cdot{}\underbrace{(-\sin(3\pi x))}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\underbrace{3\pi}_{\text{innere Ableitung!}}$
[/mm]
[mm] $=...-9\pi^2\cdot{}\sin(3\pi [/mm] x)$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
ah-ja, ok danke dir. dic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
wenn ich zu der funktion das taylorpolynom zum grad 3 an der stelle [mm] x_0=2 [/mm] aufstelle, soll da
-4 + [mm] 3*\pi*(x-2) [/mm] + [mm] 3*(x-2)^2 [/mm] + [mm] (1-\bruch{9*\pi^3}{2})*(x-2)^3 [/mm] raus kommen.
demnach ist [mm] t_0 [/mm] =-4
wenn ich aber in die formel 2 einsetze, kommt da -3,677... raus. wie komm ich denn auf 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 09.02.2009 | | Autor: | leduart |
hallo dicentra
in welche Formel setzt du denn ein?
[mm] t_0=f(2)=2^3-3*2^2+sin6\pi=8-12=-4
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 09.02.2009 | | Autor: | dicentra |
hallo leduart.
was ist denn mit den sin [mm] 6\pi? [/mm] und da fehlt doch auch noch ein x...
gruß, dic
> hallo dicentra
> in welche Formel setzt du denn ein?
> [mm]t_0=f(2)=2^3-3*2^2+sin6\pi=8-12=-4[/mm]
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 10.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Du betrachtest doch fuer das Taylorpol. die Entwicklungsstelle 2
x=2 in [mm] sin(3\pi*x) [/mm] eingesetzt ergibt sin [mm] (6\pi)=0
[/mm]
hast du etwa deinen TR auf deg (also Grad) gestellt?
dass [mm] sin(n*\pi)=0 [/mm] sollte man ohne TR wissen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Di 10.02.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra
> Du betrachtest doch fuer das Taylorpol. die
> Entwicklungsstelle 2
> x=2 in [mm]sin(3\pi*x)[/mm] eingesetzt ergibt sin [mm](6\pi)=0[/mm]
> hast du etwa deinen TR auf deg (also Grad) gestellt?
ehrlich gesagt ja. wenn ich ihn auf rad umstelle kommt -oh wunder- tatsächlich 0 heraus.
habe eh ein problem damit, wann ich ihn umstellen muss...
> dass [mm]sin(n*\pi)=0[/mm] sollte man ohne TR wissen!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Di 10.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Funktionen werden ja die reellen Zahlen abgebildet. d.h. x ist immer in bogenmass gemeint.
Nur bei geometrischen Ueberlegungen, Dreiecken usw. nimmt man das Gradmass.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Di 10.02.2009 | | Autor: | dicentra |
ok, schönen dank. dic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:08 Mi 11.02.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=cos(\bruch{x^2}{4}) [/mm] |
hallo zusammen.
mir geht es um die 3. ableitung, da scheint ein fehler drin zu sein. weiß aber nicht wie ich auf das richtige komme.
[mm] f'(x)=-sin(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x
[/mm]
[mm] f''(x)=-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{4}x^2-sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{4}x^2-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x-cos(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'''(x)=sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{8}x^3-2(cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x)
[/mm]
grüße, dic
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Hallo dicentra,
> [mm]f(x)=cos(\bruch{x^2}{4})[/mm]
> hallo zusammen.
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> mir geht es um die 3. ableitung, da scheint ein fehler drin
> zu sein. weiß aber nicht wie ich auf das richtige komme.
>
> [mm]f'(x)=-sin(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\green{-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{4}x^2}\blue{-sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}}[/mm]
Bis hier ist alles richtig. Die Farben sollen nur helfen, in der dritten Ableitung den Überblick zu behalten.
> [mm]f'''(x)=\green{sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{4}x^2-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x}\blue{-cos(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x}[/mm]
Der grüne Teil ist richtig, aber dem blauen fehlt noch ein Faktor, und überhaupt hätte ich mehr blau erwartet. Da Du ja die Produktregel beherrschst, siehst Du wahrscheinlich selbst, was noch fehlt.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 Do 12.02.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra,
>
> > [mm]f(x)=cos(\bruch{x^2}{4})[/mm]
> > hallo zusammen.
> >
> > mir geht es um die 3. ableitung, da scheint ein fehler drin
> > zu sein. weiß aber nicht wie ich auf das richtige komme.
> >
> > [mm]f'(x)=-sin(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x[/mm]
> >
> >
> [mm]f''(x)=\green{-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{4}x^2}\blue{-sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Bis hier ist alles richtig. Die Farben sollen nur helfen,
> in der dritten Ableitung den Überblick zu behalten.
>
> >
> [mm]f'''(x)=\green{sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{4}x^2-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x}\blue{-cos(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x}[/mm]
>
> Der grüne Teil ist richtig, aber dem blauen fehlt noch ein
> Faktor, und überhaupt hätte ich mehr blau erwartet. Da Du
> ja die Produktregel beherrschst, siehst Du wahrscheinlich
> selbst, was noch fehlt.
>
> Grüße,
> reverend
okay, ich sehe, da fehlen die [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
[mm]f'''(x)=\green{sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{4}x^2-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x}\blue{-cos(\bruch{1}{4}*x^2)*\bruch{1}{2}x}\black*\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]f'''(x)=\green{sin(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{8}x^3-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x}\blue{-cos(\bruch{1}{4}x^2)*\bruch{1}{2}x}\black*\bruch{1}{2}[/mm]
mmh. aber was hättest du bei blau mehr erwartet?
aber irgendwie scheint da immer noch was nicht zu stimmen.
gruß, dic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Do 12.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Jetzt ist alles richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Do 12.02.2009 | | Autor: | dicentra |
ausgezeichnet.
aber wie kommt maple denn auf dieses ergebnis.
[mm] \bruch{1}{8}*sin(\bruch{1}{4}*x^2)*x^3-\bruch{3}{4}*cos(\bruch{1}{4}x^2)*x
[/mm]
oder mache ich dabei was falsch?
> f:= x -> [mm] cos(x^2/4);
[/mm]
> Df:=D(f);
> D2f:=D(Df);
> D3f:=D(D2f);
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Do 12.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist dasselbe wie dein Ergebnis, nur die 2 cos Terme adiert/.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Do 12.02.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo
> das ist dasselbe wie dein Ergebnis, nur die 2 cos Terme adiert/.
> Gruss leduart
leider kann ich das nicht nachvollziehen...
gruß, dic
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo dicentra,
> > Hallo
> > das ist dasselbe wie dein Ergebnis, nur die 2 cos Terme
> adiert/.
> > Gruss leduart
>
>
> leider kann ich das nicht nachvollziehen...
na, die Sinusterme sind ja gleich.
Für den Rest hast du heraus:
$-\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)\right\cdot{}\bruch{1}{2}x-\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)\cdot{}\underbrace{\bruch{1}{2}x\cdot{}\bruch{1}{2}}_{=\frac{1}{4}x}$
$=\blue{-\frac{1}{2}x}\cdot{}\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)-\frac{1}{4}x\cdot{}\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)$
$=\blue{-\frac{2}{4}x}\cdot{}\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)\blue{-\frac{1}{4}x}\cdot{}\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)$
$=-\frac{3}{4}x\cdot{}\cos\left(\bruch{1}{4}x^2\right)$
>
> gruß, dic
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:58 Do 12.02.2009 | | Autor: | dicentra |
danke. dic
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