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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Di 02.01.2007 | | Autor: | SAMsg |
| Aufgabe | Diskutieren Sie die folgende Funktion (Kurvendiskussion inkl. Graph):
f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 3x -1
(Bestimmen der Krümmung und der Wendepunkte ist nicht nötig)
a) Definitionsbereich
b) Asyptoten
c) Nullstellen
d) Monotonie
e) Extremwerte |
Das Thema Kurvendiskussion macht mir ein wenig Schwierigkeiten.
Meine Lösungsvorschläge:
a) Der Definitionsbereich: D = R
Frage: Ist 1 (Nullstelle) ausserhalb des Definitionsbereichs? Ich denke nicht - bin aber nicht sicher...
b) Wie krieg ich die Asymptote raus? Entspricht diese der x-Achse?
c) Nullstellen: Eine Nullstelle bei 1
Ich hab die erste Ableitung "gleich null gesetzt"...
d) Monotonie: 1+ ist monoton steigend und 1- ist monoton fallend - aber ich weiss nicht wirklich wie die Notation für sowas ist.
lim (x->1+) f(x) = +OO
lim (x->1-) f(x) = -OO
e) Extremwerte
plus und minus Unendlich - denk ich... Wie ist die Notation? Wie bei d)?
Vielen Dank!
Gruss
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 02.01.2007 | | Autor: | Aaron |
Hallihallo,
Zu 1) Wieso sollten Nullstellen denn ausgeschlossen sein? Nullstellen gehören genauso zum Definitionsbereich, sonst würde es die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) nicht geben oder seh ich das falsch?
Zu 3) Wieso setzt du die 1 Ableitung gleich Null um die Nullstellen zu errechnen? Die 1 Ableitung zeigt die Steigung an und wird Null gesetzt um gegebenenfalls einen HP/TP zu ermitteln (Steigung = 0). Um die Nullstellen zu errechnen, musst du den y-Wert gleich Null setzten, da an diesen Punkten logischerweise die x-Achse geschnitten oder berührt wird. Somit die Ausgangsfunktion benutzen. Dein Ergebniss ist zwar richtig, dies liegt aber daran, dass der Sattelpunkt bei der Nullstelle liegt.
Zu 5) Wenn du Extrema errechnen sollst, musst du doch die genauen Punkte angeben, schließlich handelt es sich nicht um eine Funktionsschar.
- 1 Ableitung errechnen und Null setzen, an diesem Punkt hast du also einen HP oder TP, es sei denn du hast einen Sattelpunkt. Mit der 2 Ableitung kannst du die Steigung der Steigung errechnen und somit bestimmen, ob es ein HP ODER ein TP ist, Wert > 0 --> TP; Wert < 0 --> HP, ist die 2 Ableitung = 0 hast du einen Sattelpunkt.
Oder habe ich irgendwelche Denkfehler?
Irgendwie bin ich gerade mit diesem System hier durcheinander gekommen, es sollte eine Mittteilung werden 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Di 02.01.2007 | | Autor: | SAMsg |
1) Das tönt einleuchtend.
3) Ok - das heisst - "Ausgangsfunktion" = 0
--> Wie rechne ich das am besten?
5) Mit der 1. Ableitung krieg ich den Sattelpunkt (1) - die 2. Ableitung "bestätigt", dass es auch wirklich ein Sattelpunkt ist (wie du es beschrieben hast).
Vielen Dank!
Gruss
SAMsg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Di 02.01.2007 | | Autor: | Aaron |
1) Schön 
3) Entweder hast du einen gescheiten Taschenrechner :-D oder du machst es per Hand, mithilfe einer Polynomdivision, da es eine Funktion 3ten Grades ist.
5) Da hast du mich nicht ganz verstanden. Die 1 Ableitung zeigt, wenn sie 0 gesetzt wird (notwendige Bedingung), dass es einen Punkt gibt, andem die Steigung 0 ist (es muss nun einen HP/TP oder Sattelpunkt vorhanden sein, nun kann man indem man einen Vorzeichenwechsel (VZW) durchführt oder die 2 Ableitung ungleich 0 setzt herausfinden, ob es ein HP oder TP ist,
wenn die 2 Ableitung allerdings auch 0 ist oder es keinen VZW gibt handelt es sich um einen Sattelpunkt. Dann wird die 3 Ableitung ungleich Null gesetzt, um zu schauen ob es ein steigender oder fallender Sattelpunkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Di 02.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Diskutieren Sie die folgende Funktion (Kurvendiskussion
> inkl. Graph):
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 3x -1
>
> (Bestimmen der Krümmung und der Wendepunkte ist nicht
> nötig)
>
> a) Definitionsbereich
> b) Asyptoten
> c) Nullstellen
> d) Monotonie
> e) Extremwerte
> Das Thema Kurvendiskussion macht mir ein wenig
> Schwierigkeiten.
>
> Meine Lösungsvorschläge:
> a) Der Definitionsbereich: D = R
> Frage: Ist 1 (Nullstelle) ausserhalb des
> Definitionsbereichs? Ich denke nicht - bin aber nicht
> sicher...
Nein, Nullstellen gehören zum Def. Bereich, also [mm] D=\IR
[/mm]
>
> b) Wie krieg ich die Asymptote raus? Entspricht diese der
> x-Achse?
>
Nein, Asymptoten gibt es bei ganzrationalen Funktionen nicht. Nur bei gebrochen-rationalen Funktionen, Exponential-und Logarithmusfunktionen gibt es solche Geraden.
> c) Nullstellen: Eine Nullstelle bei 1
> Ich hab die erste Ableitung "gleich null gesetzt"...
>
Was hat eine Nulstelle der esten Ableitung mit der Nullstelle der Originalfunktion zu tun? Nichts, also musst du hier entwerder eine NST so finden, und dann eine Polynomdivision machen, oder, was hier deutlich eleganter ist, f(x)=x³-3x²+3x-1 umformen zu (x-1)³
Jetzt die Nullstellen zu ermitteln sollte kein Problem sein.
> d) Monotonie: 1+ ist monoton steigend und 1- ist monoton
> fallend - aber ich weiss nicht wirklich wie die Notation
> für sowas ist.
Um Monotonie zu bestimmen, bildest du folgende Intervalle
[mm] I_{1}=(-\infty;1),I_{2}=(1;\infty), [/mm] 1 deswegen, wei es die einzige Nullstelle von f(x) ist.
Jetzt prüfst du, ob f'(x)>[<] 0 ist, wenn du x aus [mm] I_{1} [/mm] nimmst.
Ist f'(x)>[<]0, so ist f auf [mm] I_{1} [/mm] monoton steigend[fallend].
>
> lim (x->1+) f(x) = +OO
> lim (x->1-) f(x) = -OO
Korrekt
>
> e) Extremwerte
> plus und minus Unendlich - denk ich... Wie ist die
> Notation? Wie bei d)?
Nein, du sucht auch die relativen Extrempunkte. [mm] E(x_{e}/f(x_{e})
[/mm]
Also: [mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
[mm] f''(x_{e})\red{>}\blue{(<0)}\green{[=0]} \gdw [/mm] E ist [mm] \red{Tiefpunkt}\blue{(Hochpunkt)}\green{[Sattelpunkt]}
[/mm]
>
> Vielen Dank!
>
> Gruss
> Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Mi 03.01.2007 | | Autor: | SAMsg |
Vielen Dank!!!
Gruss
SAMsg
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