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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung zur Ausgangsfunktion

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Ableitung zur Ausgangsfunktion: Hausaufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:52 Mi 26.04.2006
Autor:	Kristof

Aufgabe

 Gegeben ist die Ableitungsfunktion f'. Gesucht ist eine mögliche Ausgangsfunktion f.

a.) f'(x) = 3x²+2x

b.) f'(x) = [mm] 4x³+7x^6
 [/mm]

c.) f'(x) = [mm] 9x^8-6x^5+8
 [/mm]

d.) f'(x) = [mm] x^6+x²
 [/mm]

e.) f'(x) = [mm] x^4-x³
 [/mm]

f.) f'(x) = 8x³-6x²

g.) f'(x) = [mm] 2x^4-8x³+2x²
 [/mm]

h.) f'(x) = sin x - cos x

i.) f'(x) = 2*cos x - (1)/(2*x²)

Hallo, habe die Aufgaben so gut es ging gemacht, bin mir nur wie fast immer überhaupt nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe.

Hatte auch keine Formel oder so (gibt's da eine?) mit der ich das rechnen konnte. Habe einfach immer als Beispiel f'(x) = 6x² für f(x) = 6 / n + 1
In diesem Fall : f (x) = 6/3 = 2x³

Naja hier erstmal die Ergebnisse :

a.) f (x) = x³+x²

b.) f (x) = [mm] x^4-x^7 [/mm]

c.) f (x) = [mm] x^9-x^6+8x [/mm]

d.) f (x) = [mm] 1/7x^7+1/3x³ [/mm]

e.) f (x) = [mm] 1/5x^5-1/4x^4 [/mm]

f.) f (x) = [mm] 2x^4-2x³ [/mm]

g.) f (x) = [mm] 2/5x^5-2x^4+2/3x³ [/mm]

h.) f (x) = -cos x - sin x

i.) f (x) = 2*sin x - 0,5*x³

Wäre super nett wenn ihr das gegebenenfalls verbessern könntet.

Dankeschön schonmal im Voraus.
MFG
Kristof

Bezug

Ableitung zur Ausgangsfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:08 Mi 26.04.2006
Autor:	Bastiane

Hallo!

> Gegeben ist die Ableitungsfunktion f'. Gesucht ist eine
> mögliche Ausgangsfunktion f.

Deine Überschrift stimmt nicht wirklich. Was du haben willst, ist die Stammfunktion, nicht die Ableitung. ;-)

> a.) f'(x) = 3x²+2x
>  b.) f'(x) = [mm]4x³+7x^6[/mm]
>  c.) f'(x) = [mm]9x^8-6x^5+8[/mm]
>  d.) f'(x) = [mm]x^6+x²[/mm]
>  e.) f'(x) = [mm]x^4-x³[/mm]
>  f.) f'(x) = 8x³-6x²
>  g.) f'(x) = [mm]2x^4-8x³+2x²[/mm]
>  h.) f'(x) = sin x - cos x
>  i.) f'(x) = 2*cos x - (1)/(2*x²)

> Hatte auch keine Formel oder so (gibt's da eine?) mit der
> ich das rechnen konnte. Habe einfach immer als Beispiel
> f'(x) = 6x² für f(x) = 6 / n + 1
> In diesem Fall : f (x) = 6/3 = 2x³

Ja, es gibt eine Formel: [mm] f'(x)=x^n \Rightarrow f(x)=\bruch{1}{n+1}x^{n+1} [/mm]
[edit] die bekommt Ihr vermutlich erst später gesagt; jetzt sollt Ihr lediglich durch erneutes Ableiten prüfen, ob die geratene Funktion "passt".[informix]

Multiplikative Konstanten davor bleiben natürlich immer einfach stehen bzw. werden dann mitmultipliziert.

> a.) f (x) = x³+x²

> b.) f (x) = [mm]x^4-x^7[/mm]

[mm] x^4+x^7 [/mm] - wieso "Minus"?

> c.) f (x) = [mm]x^9-x^6+8x[/mm]

> d.) f (x) = [mm]1/7x^7+1/3x³[/mm]

> e.) f (x) = [mm]1/5x^5-1/4x^4[/mm]

> f.) f (x) = [mm]2x^4-2x³[/mm]

> g.) f (x) = [mm]2/5x^5-2x^4+2/3x³[/mm]

> h.) f (x) = -cos x - sin x

> i.) f (x) = 2*sin x - 0,5*x³

Wie kommst du auf [mm] -0,5x^3? [/mm]
[mm] \bruch{1}{2x^2}=\bruch{1}{2}*x^{-2} [/mm]

Dann ist die

Stammfunktion dazu (nach obiger Regel):

[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{-1}x^{-1}=-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}=-\bruch{1}{2x} [/mm]

Also ist die komplette Stammfunktion: [mm] 2\sin(x)+\bruch{1}{2x} [/mm]

> Wäre super nett wenn ihr das gegebenenfalls verbessern
> könntet.

Kein Problem. Aber als Übung kannst du es immer selber korrigieren, indem du deine "Ausgangsfunktion" einfach wieder ableitest. Wenn dann das rauskommt, was vorher angegeben war, ist's richtig. :-)

Übrigens kann hinter jede deiner Funktion noch eine additive Konstante C (also z. B. für a): [mm] f(x)=x^3+x^2+C. [/mm] Denn Konstanten fallen beim Ableiten ja weg.

Stammfunktion in unserer

MatheBank.

Viele Grüße
Bastiane