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Forum "Differentiation" - Ableitung von x hoch x
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Ableitung von x hoch x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

[mm] f(x)=x^{x} [/mm]

Hallo Leute

Ich denke, das ist irgendwie mit den natürlichen Log zu lösen, und (mit der MBKettenregel??)

Leider bin ich mit Logarithmen sehr, sehr schlecht, ich wäre froh, wenn mir jemand diese Aufgabe mit möglichst vielen Wörtern und möglichst wenig mathematischen Zeichen erklären könnte ;-)

Danke für eure Hilfe!

Gruss belimo
        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 10:13 Sa 03.02.2007
Autor: Informacao

Hi,

wir machen gerade auch Ableitungen. Und ich habe das so gelernt, dass der Exponent nach vorne kommt, und oben weniger eins stehen bleibt.

Also f(x)=x³       f'(x)=3x²

Also müsste [mm] f(x)=x^{x} [/mm] doch eigentlich [mm] f'(x)=x*x^{x-1} [/mm] sein, oder?

Bin mir nicht ganz sicher, aber stur abgeleitet, müsste das so sein.

Viele Grüße
Informacao
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Ableitung von x hoch x: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 10:18 Sa 03.02.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> Hi,
>  
> wir machen gerade auch Ableitungen. Und ich habe das so
> gelernt, dass der Exponent nach vorne kommt, und oben
> weniger eins stehen bleibt.
>
> Also f(x)=x³       f'(x)=3x²
>  
> Also müsste [mm]f(x)=x^{x}[/mm] doch eigentlich [mm]f'(x)=x*x^{x-1}[/mm]
> sein, oder?
>
> Bin mir nicht ganz sicher, aber stur abgeleitet, müsste das
> so sein.
>  
> Viele Grüße
>  Informacao

[mm] $\bffamily \text{Hi,}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Das ist leider absolut falsch so -- die Regel gilt nur, wenn der Exponent aus }\mathbbm{R}\text{ kommt!}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Innere Ableitung mal äußere Ableitung ergibt: }f'\left(x\right)=\ln x*x^x+1*x^x=x^x*\left(\ln x+1\right)\text{.}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Grüße, Stefan.}$ [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 10:28 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Genau, das stimmt nämlich auch mit der Lösung überein ;-)
Bezug
                
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Ableitung von x hoch x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Das dachte ich anfangs auch, aber die Lösung des Dozenten stimmt leider nicht damit überein ;-)
Bezug
                        
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Ableitung von x hoch x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Aber eine Frage noch: So wie ich das verstanden habe, ist ja jetzt die ableitung von hoch x der ln(x). Warum ist das so? Wie gesagt mit Logarithmen bin ich auf der Stufe Kindergarten ;-)
Bezug
                                
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Ableitung von x hoch x: Umformen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 03.02.2007
Autor: Loddar

Hallo belimo!


> So wie ich das verstanden habe, ist ja jetzt die ableitung von
> hoch x der ln(x).

[notok] Das stimmt so nicht.

Für die e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] gilt: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .

Daraus ergibt sich auch die Formel für die allgemeine Exponentialfunktion [mm] $a^x$ [/mm] :

[mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$ [/mm]



Deine spezielle Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^x$ [/mm] lässt sich zunächst so nicht nach bekannten MBAbleitungsregeln ableiten. Daher formen wir hier zunächst um, indem wir die Eigenschaft des [mm] $\ln(x)$ [/mm] als  Umkehrfunktion der e-Funktion verwenden:

$f(x) \ = \ [mm] \red{x}^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \red{e^{\ln(x)}} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm]


Nun verwenden wir die o.g. Ableitungsregel für die e-Funktion in Verbnindung mit der MBKettenregel und MBProduktregel für die innere Ableitung.


Gruß
Loddar

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Sa 03.02.2007
Autor: riwe

besonders einfach geht das so:
[mm]y=x^{x}\to lny=x\cdot lnx[/mm]
und jetzt "implizit" differenzieren:

[mm] \frac{1}{y}y^\prime=lnx+1 [/mm]
und jetzt y nach rechts bringen und wieder das ursprüngliche einsetzen
[mm] y^\prime=(lnx+1)\cdot x^{x} [/mm]
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