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Ableitung von ln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 Sa 16.10.2004
Autor: hannes85

Ich weiß, dass wenn ich f(x)=ln(x) ableite, die Ableitungsfunktion = 1/x erhalte. Mir ist auch die allgemeine Formel bekannt, die für alle Logarithmen gilt. Kann mir aber jemand die Herleitung erklären und beschreiben, da mir dies nicht geläufig ist und ich es auch nirgends gefunden habe!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitung von ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:26 Sa 16.10.2004
Autor: Marc

Hallo hannes85,

[willkommenmr]

> Ich weiß, dass wenn ich f(x)=ln(x) ableite, die
> Ableitungsfunktion = 1/x erhalte. Mir ist auch die
> allgemeine Formel bekannt, die für alle Logarithmen gilt.
> Kann mir aber jemand die Herleitung erklären und
> beschreiben, da mir dies nicht geläufig ist und ich es auch
> nirgends gefunden habe!

Das kann man mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion recht einfach zeigen, oder es direkt ausrechnen (und damit die Beweisidee dieser Umkehrregel benutzen):

[mm] $f(x)=\ln [/mm] x$

Nun ist [mm] $\ln [/mm] x$ die Umkehrfunktion zu [mm] $e^x$, [/mm] es gilt deswegen:

[mm] $e^{\ln x}=x$ [/mm]

Beide Seiten differenziert (auf der linken Seite ist dazu die MBKettenregel anzuwenden):

[mm] $\Rightarrow$ $(\ln x)'*e^{\ln x}=1$ [/mm]

(auf der linken Seite steht "innere Ableitung"*"äußere Ableitung", und die 1 auf der rechten Seite ist die Ableitung von x)

Nun schreibe ich statt [mm] $e^{\ln x}$ [/mm] wieder x:

[mm] $\Rightarrow$ $(\ln [/mm] x)'*x=1$

und dividiere durch x:

[mm] $\Rightarrow$ $(\ln [/mm] x)'=1/x$

Bei Unklarheiten frag' bitte nach :-)

Viele Grüße,
Marc
Bezug
                
Bezug
Ableitung von ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Sa 16.10.2004
Autor: hannes85

vielen dank! genau danach habe ich gescuht, ist ja im prinzip voll einfach und simpel, wenn man einfach stur die regeln anwendet. danke nochmals!

gruß hannes
Bezug
                
Bezug
Ableitung von ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Mi 09.03.2005
Autor: STeffichen


> Nun ist [mm]\ln x[/mm] die Umkehrfunktion zu [mm]e^x[/mm], es gilt
> deswegen:
>  
> [mm]e^{\ln x}=x[/mm]

Wieso ist das so? Bitte helfen! ;-)

Liebe Grüße, Steffi
Bezug
                        
Bezug
Ableitung von ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mi 09.03.2005
Autor: Marcel

Hallo Steffi!

>
> > Nun ist [mm]\ln x[/mm] die Umkehrfunktion zu [mm]e^x[/mm], es gilt
> > deswegen:
>  >  
> > [mm]e^{\ln x}=x[/mm]
>  
> Wieso ist das so? Bitte helfen! ;-)

Ich finde das unsinnig, dass du zweimal die gleiche Frage an verschiedenen Stellen stellst: https://matheraum.de/read?i=50738 [kopfschuettel].
Außerdem solltest du mal auf die Rückfrage, wie bei euch der [mm] $\ln$ [/mm] im Unterricht eingeführt wurde (siehe hier und mittlerweile auch nochmal hier), antworten!

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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