Ableitung von f < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermittle die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion von f und skizziere die Graphen von f und f' in ein KS. Erläutere dein Vorgehen
a) f mit f(x) =x²+x
b) f mit f(x)= x³-2 |
Ich dachte jetzt daran die Werte in die Gleichung für den Differenzialquotienten einzusetzen allerdings hatten wir in der Schule bei den Übungen immer nocht etwas vor dem x stehen. Deswegen bin ich ein wenig verwirrt und weiß nicht so recht weiter.
Könnte mir das bitte jemand für a richtig in die formel einsetzen damit ich weiterechnen kann?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 25.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo labelleamour,
Ganz allgemein ist die Ableitungsfunktion für [mm] f(x)=x^{n} [/mm] wie folgt gegeben: [mm] f'(x)=nx^{n-1}
[/mm]
Das kannst du dir so merken:
1. Den Exponenten vorziehn
2. Den Exponenten um 1 verringern
Beispiel:
Die Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] ist 2x
Von [mm] x^{2} [/mm] müsstest du den Exponenten, also 2 nach vorne ziehen und den dann um 1 verringern.
Die Ableitung von x ist 1
Jetzt schau dir die a) an. Bei "+" kann man getrennt die Ableitung bilden (Summenregel)
Also ist die Ableitung für a) : f'(x)=2x+1
Ist alles klar geworden? Wenn ja, dann kannst du ja mal bei der b) schaun ;) Gruß
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Ich dachte ich muss das in die Formel, die wir immer benutzt haben einsetzen :
[mm] \bruch{(fx0+h)-fx0}{h}
[/mm]
wäre das keine Möglichkeit auf die Lösung zu kommen, weil das besser funktionieren würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 25.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Sry. Ich dachte, dass ihr diese Formel bereits kennt.
Ok, dann anders:
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] + x ist die Funktion
Und die Ableitung ist definiert als:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
So, und f(x+h) ist: [mm] f(x+h)=(x+h)^{2}+(x+h)
[/mm]
Jetzt mit binomischer Formel: [mm] f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+x+h
[/mm]
So, und jetzt in die Defintion (s.o.) einsetzen:
lim(...) [mm] \bruch{x^{2}+2xh+h^{2}+x+h-(x^{2} + x)}{h}
[/mm]
lim(...) [mm] \bruch{x^{2}+2xh+h^{2}+x+h-x^{2} - x}{h}
[/mm]
Und jetzt schau mal, ob im Zähler was wegfällt. Und danach schau mal, ob du nun h gegen 0 gehen lassen kannst. mit lim(...) mein ich hier denselben wie oben in der Definition. Schreib aber, falls sich Fragen ergeben.
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Ist ja kein Problem. Danke, das für das erste habe ich 2x+1 rausbekommen.
Das zweite habe ich jetzt auch probiert, aber anstatt 3x² habe ich 2x herausbekommen.
Könntetn Sie eventuell mal nachschauen,wo der Fehler liegt?
f(x)= x³-2
[mm] \bruch{(x+h)³ -2-(x³-2)}{h}
[/mm]
[mm] \bruch{x³+2xh+h³-2-x³+2}{h}
[/mm]
nach dem kürzen kam ich auf
[mm] \bruch{2xh+h³}{h}
[/mm]
dann habe ich h ausgeklammert:
[mm] \bruch{h(2x+h²)}{h}
[/mm]
h gegen 0
f'(x)= 2x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Fr 25.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Gerne :)
Ähm, wundert mich, dass ihr da was mit [mm] x^{3} [/mm] habt, denn da kannst du die binomische Formel (so wie du sie kennst) nicht anwenden.
Sry, das war ziemlicher Blödsinn von mir. Also:
[mm] (a+b)^{3} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] + [mm] 3a^{2}b [/mm] + 3 [mm] ab^{2} +b^{3}
[/mm]
Das ist die allgemeine Formel. ;) Damit solltest du besser klarkommen.
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Wenn ich das auflösen will, dann löse ich zuerst die (x+h)² Klammer nach der 2. bin. Formel auf
also: x²+2xh+h²
wenn die 2 dahinter in der klammer steht,dann schreibe ich sie doch nach dem auflösen einfach mit rein, oder nehme ich alles aus der 1. klammer damit mal?
das macht man doch nur wenn der faktor vor der klammer steht ,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 25.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry. hatte mich da grob vertan. schau bitte nochmal in meinen letzten Beitrag. da steht die Formel ;)
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ok ,) ich habe mir jetzt diese gleichung:
[mm] \bruch{(x+h)³-2-(x³-2)}{h} [/mm] aufgestellt
jetzt folgendermaßen aufgelöst:
[mm] \bruch{x³+3x²h+3h²x+h³-2-x³+2}{h}
[/mm]
dann gekürzt
[mm] \bruch{3x²h+3h²x+h³}{h}
[/mm]
jetzt wollte ich h ausklammern ist das so richtig?
[mm] \bruch{h(3x²+3x²+h²}{h}
[/mm]
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Hallo labelleamour,
ersteinmal ein allgemeiner Hinweis:
Wenn du Exponenten schreiben willst, dann verwendet den Operator ^ und schreibe dahinter den Exponenten in geschweifte Klammern. Die Taschenrechnersymbole führen dazu, dass die Exponenten manchmal nicht richtig dargestellt werden. Ich habe es verbessert.
> ok ,) ich habe mir jetzt diese gleichung:
>
> [mm]\bruch{(x+h)^3-2-(x^3-2)}{h}[/mm] aufgestellt
>
> jetzt folgendermaßen aufgelöst:
>
> [mm]\bruch{x^3+3x^2h+3h^2x+h^3-2-x^3+2}{h}[/mm]
>
> dann gekürzt
>
> [mm]\bruch{3x^2h+3h^2x+h^3}{h}[/mm]
Bier hierhin stimmt alles ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> jetzt wollte ich h ausklammern ist das so richtig?
>
> [mm]\bruch{h(3x^2+3\red{hx}+h^2)}{h}[/mm]
Nun h kürzen. Dann kannst du h gegen Null laufen lassen.
>
>
LG
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gut :)
was wird denn dann aus den 3hx? 3x² bleiben h² fällt weg; fallen sie auch weg, oder bleiben 3x?
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Hallo labelleamour,
> gut :)
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> was wird denn dann aus den 3hx? 3x² bleiben h² fällt
> weg; fallen sie auch weg, oder bleiben 3x?
Wenn Du kürzt fällt erstmal nichts weg.
Erst wenn Du h gegen 0 laufen läßt, dann fällt einiges weg.
Gruss
MathePower
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beim gegen h laufen lassen bin ich doch jetzt gerade,)!
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> beim gegen h laufen lassen bin ich doch jetzt gerade,)!
Dann läuft auch 3xh gegen 0.
LG
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gut das passt, dankeschön an alle lieben helfer :)
LG
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