Ableitung von einem Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 So 03.02.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Leute,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen:
----------
g(x) = [mm] \integral_{-1}^{1}{\sqrt{|x-t|}dx}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] (-1,1)
Zu zeigen: g ex. und berechnen sie diese
----------
So wir hatten einen Satz in der Vorlesung der besagte:
Sei f:[a,b]x[c,d] --> [mm] \IR [/mm] stetig
[mm] \partial_{2}f [/mm] ex. Und sei stetig, dann ist
g: [c,d] --> [mm] \IR, [/mm] g(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(t,x) dt} [/mm] stetig diffbar und
g(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{\partial_{2}f(t,x)dt}
[/mm]
So nun habe ich mir f angeschaut und ob es stetig ist an der Stelle x=t, ja ist es, egal von welcher Seite es gibt 0, also weiß ich nun (nach einem vorherigen Satz) dass g auch stetig ist, aber ich habe nun f nach x abgeleitet und leider ist dies nicht stetig, es gibt mir eine Polstelle bei x=t... Nun kann ich ja den Satz nicht anwenden, gibt es eine andere Möglichkeit? Habe bei uns leider keinen anderen Satz gefunden... oh doch, habe gerade nochmal nachgeschaut, wir haben dann noch den obigen Satz erweitert...:
i) x --> f(x,y) intbar für alle y
ii) y --> f(x,y) part. Diffbar für alle x und alle y
iii) Es ex. h [mm] \in L^{1} [/mm] mit [mm] |\partial_{2}f(x,y)| \le [/mm] h(x) für alle x und alle y
So i) und ii) habe ich ja schon oben abgedeckt, aber wie soll ich eine Majorante h finden, die in [mm] L^{1} [/mm] ist, also deren Integral endlich? [mm] |\partial_{x}f| [/mm] geht mir ja gegen unendlich, je näher ich mit x an das t komme...
Hoffe ihr könnt mir helfen...
LG
Caro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
Veranschauliche dir doch erst einmal den Sachverhalt!
Skizziere dir die Funktion [mm] \wurzel{|x-t|} [/mm] im Intervall (-1;1). Wenn du für t einen beliebigen Wert außerhalb des Intervalls (-1;1) wählst, geht es um eine stinknormale Fläche unter einer Wurzelfunktion.
Wenn du ein t innerhalb des Intervalls wählst, besteht der Graph aus zwei Ästen von Wurzelfunktionen, die spiegelsymmetrisch zur Geraden x=t liegen. Bei Annäherung aus Richtung x= -1 gegen x=t geht der Flächenzuwachs an der Stelle t gegen Null (und steigt nach überschreiten dieser Stelle auch erst einmal kaum).
|
|
|
|
