Ableitung von "arcsin x" < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hi@all
also sollen zu hause die ableitungen für arcsin x und arctan x mit hilfe der umkehrfunktionen herrleiten.
also hab ersmtal für arcsin so angefangen:
f (x)= sin x ist abgeleitet cos x (ist vorrausgesetzt)
jetzt hab ich beides mit arcsin x verkettet:
f(arcsin x)=sin (arcsin x)
das abgeleitet ergibt:
f'(arcsin x) * (arcsin x)' = 1
(arcsin x)'= 1/((arcsin (sin x)') oder?? und wie weiter?
also in der schule haben wir als beispiel folgendes gemacht:
f(x)=ln x
e^(f(x))=e^(ln x)
e^(f'(x))=1
e^(f(x)) * f'(x)=1
f'(x)= 1/(e^(f(x)))=1/(e^(ln x))=1/x
das soll ich jetz irgentwie oben genau so machen... aber wie??
danke für die hilfe
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ganz schön kompliziert irgentwie aber denke habs trotzdem verstanen danke an euch beide
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Hi, Arvi,
> also hab erstmal für arcsin so angefangen:
> f (x)= sin x ist abgeleitet cos x (ist vorausgesetzt)
> jetzt hab ich beides mit arcsin x verkettet:
> f(arcsin x)=sin (arcsin x)
> das abgeleitet ergibt:
> f'(arcsin x) * (arcsin x)' = 1
Sag ich mal: OK!
> (arcsin x)'= 1/((arcsin (sin x)') oder?? und wie weiter?
Naja: Erst mal doch:
(arcsin(x))'= [mm] \bruch{1}{f'(arcsin(x))} [/mm]
(PS: Kann die Schreibweise ohne Funktionsklammern nicht ausstehen!)
Und somit:
(arcsin(x))'= [mm] \bruch{1}{cos(arcsin(x))} [/mm]
So: Und nun formen wir den Cosinus in den Sinus um:
Es gilt doch: [mm] cos^{2}(x) [/mm] + [mm] sin^{2}(x) [/mm] = 1
Umgeformt (und unter Beachtung der Definitionsmenge - die hier zum Glück passt!) ergibt sich doch:
cos(x) = [mm] \wurzel{1-sin^{2}(x)} [/mm] (***)
Demnach ist
cos(arcsin(x)) = [mm] \wurzel{1-sin^{2}(arcsin(x))}
[/mm]
(Du musst ja nur in der Umformung (***) das x durch arcsin(x) ersetzen!)
Da nun aber sin(arcsin(x)) = x (Umkehrfunktionen!),
kriegst Du das gewünschte Ergebnis!
mfG!
Zwerglein
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Umkehrfunktion