Ableitung von Umkehrfunktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 08.03.2006 | | Autor: | titti |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = sin(x); x [mm] \in [/mm] ( [mm] \pi/2 [/mm] ; [mm] \pi/2).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f umkehrbar ist.
b) Bestimmen Sie f(umgekehrt)'(0); f(umgekehrt)'(0,5) und f(umgekehrt)'( [mm] -\bruch{1}{2} \wurzel{2})
[/mm]
c) Gibt es Stellen, an denen f(umgekehrt) nicht differenzierbar ist?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Um jetzt zu zeigen, dass f umkehrbar ist, muss ich ja eigentlich erstmal prüfen ob f streng monoton ist.
f'(x)= cos(x), aber cos(x) ist doch nicht streng monoton?!
Da die Aufgabe jedoch weiter geht muss die Funktion aber umkehrbar sein.
Kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Titti,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = sin(x); x [mm]\in[/mm] ( [mm]\pi/2[/mm] ;
> [mm]\pi/2).[/mm]
Zunächst mal (ganz wichtig!): Der "gesamte" Sinus ist genausowenig umkehrbar wie z.B. [mm] $f(x)=x^{2}$. [/mm] Solche Funktionen sind immer höchstens auf Teilintervallen umkehrbar, nämlich in den Intervallen, in denen sie streng monoton sind!
Und dir hat man doch das zu betrachtende Intervall schon gegeben: [mm] $I=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. [/mm] So wie ich das Intervall geschrieben habe, ist [mm] $-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\not\in [/mm] I$ (offenes Intervall).
> a) Zeigen Sie, dass f umkehrbar ist.
> Um jetzt zu zeigen, dass f umkehrbar ist, muss ich ja
> eigentlich erstmal prüfen ob f streng monoton ist.
Richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f'(x)= cos(x), aber cos(x) ist doch nicht streng monoton?!
Moment! Die Ableitung selber muss nicht streng monoton sein. Sie muss nur entweder überall größer oder überall kleiner als Null sein.
Aber auch hier ist wieder ganz wichtig: Wir betrachten die Ableitung (also den Kosinus) nur im Intervall $I$, d.h. du musst nur überprüfen, ob $f'(x)>0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$ oder $f'(x)<0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$ gilt!
> b) Bestimmen Sie f(umgekehrt)'(0); f(umgekehrt)'(0,5) und
> f(umgekehrt)'( [mm]-\bruch{1}{2} \wurzel{2})[/mm]
Weißt du, wie man Umkehrfunktionen ableitet?
Wenn nicht, dann frag' bitte nochmal nach... 
> c) Gibt es
> Stellen, an denen f(umgekehrt) nicht differenzierbar ist?
Hier gilt das gleiche wie für b).
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 08.03.2006 | | Autor: | titti |
Hallo Yuma!
dann habe ich jetzt raus: f'(x)>0, d.h. im I ( [mm] -\pi/2 [/mm] ; [mm] \pi/2) [/mm] ist f(x) monoton steigend.
damit steh ich schon vor dem nächsten problem. ich weiß, dass die ableitung einer Umkehrfunktion f(umgekehrt)'(y) = 1/f'(x) ist, jedoch hab ich keinen schimmer wie man sin(x) überhaupt umkehrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Titti,
> dann habe ich jetzt raus: f'(x)>0, d.h. im I ( [mm]-\pi/2[/mm] ;
> [mm]\pi/2)[/mm] ist f(x) monoton steigend.
Richtig!
> damit steh ich schon vor dem nächsten problem. ich weiß,
> dass die ableitung einer Umkehrfunktion f(umgekehrt)'(y) =
> 1/f'(x) ist, jedoch hab ich keinen schimmer wie man sin(x)
> überhaupt umkehrt...
Die Formel [mm] $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$ [/mm] ist hier in der Tat der entscheidende Schlüssel zur Lösung!
Dass du nicht weißt, wie man den Sinus umkehrt, macht nichts. Ich "weiß" es auch nicht!
Du kennst aber doch bestimmte Punkte $(x,y)$, die die Gleichung [mm] $\sin{x}=y$ [/mm] erfüllen, oder? Ich nenne hier mal ein paar:
[mm] $\sin{0}=0$, $\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\bruch{1}{2}$ ($\frac{\pi}{6}$ [/mm] sind $30°$), [mm] $\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=-\bruch{\sqrt{2}}{2}$ ($-\frac{\pi}{4}$ [/mm] sind $-45°$), [mm] $\ldots$
[/mm]
Du merkst, ich habe diese Punkte nicht ganz willkürlich gewählt...
Auf jeden Fall weißt du damit doch, dass wenn [mm] $f(x)=\sin{x}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $f^{-1}(0)=0$, $f^{-1}\left(\bruch{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}\left(-\bruch{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}$. [/mm]
Dass man [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] in dem Fall auch [mm] $\arcsin{y}$ [/mm] nennt - das ist eigentlich gar nicht wichtig...
Kommst du nun allein weiter?
Bei Aufgabe c) kannst du ja dann nochmal nachfragen, falls es da Probleme gibt, ok?
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mi 08.03.2006 | | Autor: | titti |
Vielen dank, ja ich denke ich komme damit allein weiter...muss mich jetzt auch mal um andere sachen kümmern als mathe  ! also danke für die hilfe! ciao
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