Ableitung von Produkten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | 5) Ableitung von Produkten. (4P)
Sei I ⊂ R ein Intervall und a ∈ I. Seien f, g : I → R zwei Funktionen mit
folgenden Eigenschaften:
(i) f ist in a differenzierbar und f(a) = 0.
(ii) g ist in a stetig.
Zeigen Sie, dass das Produkt f · g : I → R im Punkt a differenzierbar ist mit
(f · g)′(a) = f′(a) · g(a). |
Also meine Idee ist: man kann ja die Produktregel anwenden und dann
(f · g)′(a) = f′(a) · g(a) + f(a) · g´(a)
und weil ja f(a) =0 bleibt ja nur das vordere stehen und man hat gezeigt dass es stimmt.. nur das ist mir ein bisschen wenig und zu kurz. wobei ich ja auch ausnutze, dasss g diffbar in a ist. dabei steht da ja nur dass g stetig ist und das bedeutet ja nicht zugleich dass es diffbar ist.. jetzt weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wie ich weiter vorgehen soll. bzw wie und was ich noch zeigen muss.... danke schonmal für eure hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Die Idee mit der Produktregel ist schon mal gut, allerdings kannst Du sie hier nicht einfach anwenden nach dem Motto f(a)=0, da interessiert mich nicht, ob g'(a) überhaupt existiert.
Such mal nach einer Herleitung der Produktregel. Wenn du die entlanggehst mit den gegebenen Voraussetzungen (vor allem: Diff'barkeit von g(x) in a unbekannt), dann solltest Du das Ergebnis leicht nachweisen können.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | http://www.guengel.ch/ame/summaries/math/analysis2.pdf
|
auf seite 10 ist die komplette Herleitung aber ich weiß jetzt nicht genau was du meinst. sry
|
|
|
| |
|
Guter Fund. Die entscheidende Stelle steht dann auf der nächsten Seite, der Schritt von (8) zu (9). Da wird (obwohl leider nicht mehr notiert) der Grenzwert eines Differenzenquotienten gebildet. Alle vorhandenen Terme existieren - d.h., wenn u(x)=f(x) und v(x)=g(x) dann wissen wir eigentlich nicht, ob v(x+h) wirklich existiert. Dies darf aber oBdA angenommen werden.
In 8 ist nun der u'(x) enthaltende Term zu eliminieren, da wir an der betrachteten Stelle a wissen: u'(a)=f'(a)=0.
Dann den Grenzwert bilden und Du kommst auf Deine gesuchte Aussage, und das sauber.
Grüße,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Geh einfach auf die Def. zurück (g muß in a nicht differenzierbar sein !!!)
[mm] \bruch{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}= \bruch{f(x)}{x-a}g(x) [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}g(x)
[/mm]
jetzt x--> a
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 18.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
ja danke fred. habe das jetzt so gemacht.. aber meinst du dass das wirklich reicht? weil das sind ja dann wirklich nur 2 zeilen oder so :)
|
|
|
| |
|
Ja, das reicht. Hauptsache, Du zeigst es über die Grenzwertbetrachtung eines Differentialquotienten. Freds Schreibweise ist kürzer, weil man jeweils nur eine Variable als Funktionsargument braucht (x oder a). Es ist letztlich das gleiche, ob ich in einer Formel, in der nur die Argumente (a+h) und (a) vorkommen, [mm] h\rightarrow0 [/mm] laufen lasse, oder, wie hier, wo (x) und (a) vorkommen, [mm] x\rightarrow \a{}a.
[/mm]
Wenn Du ein einfaches Beispiel brauchst, nimm die Funktionen [mm] f(x)=x^2, [/mm] g(x)=|x| und betrachte den Punkt (0;0). Du findest eine erste und auch eine zweite Ableitung, keine dritte, und alle weiteren sind im Nullpunkt stetig ergänzbar.
Warum Du übrigens ohne weitere Kenntnis der Umgebung von a annehmen darfst, es gebe einen Funktionswert für Freds g(x) oder für mein g(a+h), ist Dir hoffentlich schon klar: es muss ja eine zusammenhängende, wenn auch beliebig kleine, Umgebung geben, in der ich einen rechts- und linksseitigen Grenzwert zum Nachweis der Stetigkeit bestimmen kann.
lg,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:53 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
DANKE DANKE.. .habt mir echt sehr geholfen.... frohe weihnachten und guten rutsch
|
|
|
|
